Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Почему треугольник $BA_1C_1$ прямоугольный.

Призма прямая, значит боковые рёбра перпендикулярны основаниям. В частности, $CC_1\perp$ плоскости $A_1B_1C_1$, поэтому $CC_1\perp A_1C_1$.

Верхняя грань $A_1B_1C_1$ равна нижнему основанию (это прямая призма), а у треугольника $ABC$ угол при $C$ прямой. Значит и в треугольнике $A_1B_1C_1$ угол при $C_1$ прямой, то есть $A_1C_1\perp B_1C_1$.

Таким образом прямая $A_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CC_1$ и $B_1C_1$, лежащим в плоскости грани $BB_1C_1C$. Значит $A_1C_1\perp$ плоскости $BB_1C_1C$, а следовательно $A_1C_1\perp BC_1$ (эта прямая лежит в той же плоскости). Значит угол $A_1C_1B$ прямой, то есть треугольник $BA_1C_1$ — прямоугольный.

б) Нахождение объёма пирамиды $AA_1C_1B$.

В прямоугольном треугольнике $BA_1C_1$ гипотенуза $A_1B=15$ (диагональ грани $AA_1B_1B$), катет $BC_1=9$ (диагональ грани $BB_1C_1C$). По теореме Пифагора: $$A_1C_1=\sqrt{A_1B^2-BC_1^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12.$$

В верхнем основании $A_1B_1C_1$ (равном нижнему, $A_1B_1=AB=13$) угол при $C_1$ прямой, поэтому $$B_1C_1=\sqrt{A_1B_1^2-A_1C_1^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5.$$

Диагонали прямоугольника $BB_1C_1C$ равны, поэтому $CB_1=BC_1=9$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CB_1C_1$ (угол при $C_1$ прямой, так как $CC_1\perp$ основанию): $$CC_1=\sqrt{CB_1^2-B_1C_1^2}=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.$$

Объём призмы: $$V=S_{ABC}\cdot CC_1=\frac{A_1C_1\cdot B_1C_1}{2}\cdot CC_1=\frac{12\cdot5}{2}\cdot 2\sqrt{14}=60\sqrt{14}.$$

Призму можно разбить тремя плоскостями сечений на три пирамиды: $C_1ABC$, $BA_1B_1C_1$ и искомую $AA_1C_1B$. У первых двух пирамид высота и основание совпадают с высотой и основанием призмы, поэтому их объём равен $V/3$ каждая. Так как три пирамиды в сумме составляют всю призму, объём третьей пирамиды тоже равен $V/3$: $$V_{AA_1C_1B}=\frac{V}{3}=\frac{60\sqrt{14}}{3}=20\sqrt{14}.$$