Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) В прямоугольном треугольнике $PQR$ угол $R$ прямой, поэтому $RQ\perp PR$. Так как призма прямая, боковое ребро $RR_1$ перпендикулярно плоскости основания, значит $RQ\perp RR_1$. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости $PRR_1P_1$ (а именно $PR$ и $RR_1$), перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно $RQ\perp RP_1$, то есть угол $QRP_1=90^\circ$ — треугольник $P_1QR$ прямоугольный.

б) Диагонали прямоугольных граней равны между собой, поэтому $P_1Q=17$, $P_1R=15$. В прямоугольном треугольнике $P_1RQ$ (прямой угол при $R$): $$RQ=\sqrt{P_1Q^2-P_1R^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8.$$ В основании, треугольник $PQR$ прямоугольный при $R$: $$PR=\sqrt{PQ^2-RQ^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.$$ Поскольку боковая грань $PP_1R_1R$ — прямоугольник, $P_1R_1=PR=6$, а угол $R_1$ в этой грани прямой, поэтому в прямоугольном треугольнике $P_1R_1R$: $$RR_1=\sqrt{P_1R^2-P_1R_1^2}=\sqrt{15^2-6^2}=\sqrt{189}=3\sqrt{21}.$$ Площадь треугольника $P_1RR_1$ (прямой угол при $R_1$): $$S_{P_1RR_1}=\frac12\cdot P_1R_1\cdot RR_1=\frac12\cdot6\cdot3\sqrt{21}=9\sqrt{21}.$$ По доказанному в пункте а) отрезок $RQ$ перпендикулярен плоскости $PRR_1P_1$, значит он является высотой пирамиды $P_1QRR_1$, опущенной из вершины $Q$ на основание $P_1RR_1$. Тогда объём: $$V=\frac13\cdot S_{P_1RR_1}\cdot RQ=\frac13\cdot9\sqrt{21}\cdot8=24\sqrt{21}.$$