ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Объёмы многогранников

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Треугольная пирамидаСечение, параллельное или перпендикулярное прямой

Основание пирамиды SABC  — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что $S F: F B=A E: E C=1: 5.$ Плоскость α проходит через точки E и F перпендикулярно прямой AC и пересекает рёбра AB и CS в точках H и M соответственно.

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является прямоугольником.

б)  Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 216.

В подтеме 60 задач

Разбор

Главная идея: Использовать подобие сечений плоскостью, параллельной боковой грани, чтобы выразить все линейные размеры прямоугольника через коэффициент подобия

1/6

, а затем разбить оставшуюся часть пирамиды на призму и малую пирамиду, объёмы которых легко выразить через

V_{SABC}

а) Почему сечение — прямоугольник

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $AC$ и пересекает основание по прямой $EH$ . Так как $EH\perp AC$ и лежит в плоскости $ABC$ , а угол $ACB=90^\circ$ , то $EH\parallel BC$ . Отсюда $\triangle AEH\sim\triangle ACB$ (общий угол $A$ , равные углы при $C$ и $H$ ), и из условия $AE:EC=1:5$ получаем коэффициент подобия $1/6$ : $EH=\frac16 BC,\qquad AE=\frac16 AC.$

Аналогично, плоскость $\alpha$ содержит прямую, параллельную $BC$ , и в грани $SBC$ пересекает её по $FM$ , причём $\triangle SFM\sim\triangle SBC$ с тем же коэффициентом $SF:FB=1:5\Rightarrow SF:SB=1:6$ : $FM=\frac16 BC,\qquad SM=\frac16 SC.$

Поскольку $EH\parallel FM$ и $EH=FM$ , четырёхугольник $EHFM$ — параллелограмм.

Так как $SA$ — высота пирамиды, плоскость $SAC$ перпендикулярна плоскости $ABC$ . Прямая $EH$ лежит в $ABC$ и перпендикулярна линии их пересечения $AC$ , значит $EH\perp$ плоскости $SAC$ , а следовательно $EH\perp EM$ (так как $EM$ лежит в этой плоскости). Значит угол $HEM$ прямой, и параллелограмм $EHFM$ — прямоугольник.

б) Нахождение объёма

Пусть $BC=a,\ AC=b,\ SA=h$ . Тогда $V_{SABC}=\frac13\cdot SA\cdot\frac12 AC\cdot BC=\frac{abh}{6}=216.$

Плоскость $\alpha$ делит пирамиду на пятигранники $SFMAHE$ и $BCMEHF$ . Введём точку $P$ на $SA$ , где плоскость через $F,M$ , параллельная основанию, пересекает $SA$ ; так как $SF:FB=1:5$ , то $SP:PA=1:5$ , то есть $SP=\dfrac{h}{6}$ , $PA=\dfrac{5h}{6}$ .

Фигура $SFMAHE$ разбивается на пирамиду $SFMP$ и призму $FMPHEA$ : $V_{SFMP}=\frac13\cdot SP\cdot\frac12 MP\cdot MF=\frac13\cdot\frac{h}{6}\cdot\frac12\cdot\frac{b}{6}\cdot\frac{a}{6}=\frac{abh}{6\cdot216},$ $V_{FMPHEA}=PA\cdot\frac12 MP\cdot MF=\frac{5h}{6}\cdot\frac12\cdot\frac{b}{6}\cdot\frac{a}{6}=\frac{5abh}{2\cdot216}.$

Складываем: $V_{SFMAHE}=\frac{abh}{6\cdot216}+\frac{5abh}{2\cdot216}=\frac{16abh}{6\cdot216}.$

Тогда искомый объём: $V_{BCMEHF}=V_{SABC}-V_{SFMAHE}=\frac{abh}{6}-\frac{16abh}{6\cdot216}=\frac{200}{216}\cdot\frac{abh}{6}=\frac{200}{216}\cdot216=200.$

Типичные ошибки

Неправильно определяют коэффициент подобия (путают $AE:EC=1:5$ с $AE:AC=1:5$ ).
Забывают, что $EH\perp$ плоскости $SAC$ следует из перпендикулярности плоскостей $ABC$ и $SAC$ , а не просто из условия $\alpha\perp AC$ .
При разбиении пятигранника на призму и пирамиду ошибаются в определении точки $P$ и соотношения $SP:PA$ .

Непонятно?

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Типичные ошибки

Похожие задачи