Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Пусть O — проекция вершины S на плоскость ABC (центр правильного треугольника ABC, так как пирамида правильная). Тогда проекция отрезка AS на плоскость — это AO, а проекция CS — это OC. Так как ортогональная проекция сохраняет отношения точек на прямой, середина N отрезка CS проектируется в середину P отрезка OC.

Точки C, O, M лежат на медиане CM треугольника ABC (O — центроид, значит CO:OM=2:1). Пусть OM=t, тогда CO=2t, а P — середина CO, поэтому CP=PO=t=OM. Отсюда MP=PO+OM=2t=CO. Но в равностороннем треугольнике все отрезки от вершины до центроида равны: CO=AO. Значит MP=AO, то есть проекция MN (равная MP) равна проекции AS (равной AO). Это доказывает пункт а).

б) Обозначим высоту пирамиды SO=h. В прямоугольном треугольнике ASO: $AO^2=AS^2-SO^2=64-h^2$.

Точка N — середина CS, значит её высота над основанием равна h/2, то есть $NP=\dfrac{h}{2}$. В прямоугольном треугольнике MNP (MP — горизонтальный катет, NP — вертикальный): $MP^2=MN^2-NP^2=25-\dfrac{h^2}{4}$.

Поскольку MP=AO (пункт а), приравниваем: $$64-h^2=25-\dfrac{h^2}{4}\Rightarrow \dfrac{3}{4}h^2=39\Rightarrow h^2=52\Rightarrow h=2\sqrt{13}.$$

Тогда $AO^2=64-52=12\Rightarrow AO=2\sqrt3$.

Так как для равностороннего треугольника расстояние от вершины до центроида равно $AO=\dfrac{a}{\sqrt3}$, находим сторону: $a=AO\sqrt3=2\sqrt3\cdot\sqrt3=6$.

Площадь основания: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot36=9\sqrt3$.

Объём пирамиды: $V=\dfrac13 h\,S_{ABC}=\dfrac13\cdot2\sqrt{13}\cdot9\sqrt3=6\sqrt{39}.$