Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть плоскость $MPQ$ пересекает $SC$ в точке $N$. Так как $P$ и $Q$ — середины сторон $AD$ и $BC$, то $PD=CQ$ и $PD\parallel CQ$, значит $PDCQ$ — параллелограмм, откуда $PQ\parallel CD$. Поскольку $PQ$ лежит в секущей плоскости, а $CD\parallel$ плоскости $SDC$, линия пересечения $MN$ этой плоскости с секущей тоже параллельна $CD$, то есть $MN\parallel PQ\parallel CD$. Из параллельности $MN$ и $CD$ следует пропорция $\frac{SM}{MD}=\frac{SN}{NC}$, а так как $SM:SD=2:3$, получаем $SN:NC=2:1$, то есть $MD=NC$. Треугольники $NCQ$ и $PDM$ равны по двум сторонам ($NC=MD$, $CQ=PD$) и углу между ними ($\angle SCB=\angle SDA$ — пирамида правильная), значит $NQ=MP$. Трапеция $MNQP$ с равными боковыми сторонами — равнобедренная.

б) Площадь $DPQC$ равна половине площади основания, а высота от $M$ до плоскости основания втрое меньше высоты $S$ (так как $SM:SD=2:3$, значит $MD:SD=1:3$). Поэтому $\dfrac{V_{MPDCQ}}{V_{SABCD}}=\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac16$.

Для пирамиды $MNCQ$: $\dfrac{S_{NCQ}}{S_{SCB}}=\dfrac{CN}{CS}\cdot\dfrac{CQ}{CB}=\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac16$, а расстояние от $D$ до плоскости $SBC$ в 1,5 раза больше, чем от $M$ (так как $MD:SD=1:3$, а $D$ лежит вне этой плоскости на всю высоту). Тогда $\dfrac{V_{MNCQ}}{V_{SABCD}}=\dfrac{V_{MNCQ}}{2V_{SBCD}}=\dfrac12\cdot\dfrac16\cdot\dfrac23=\dfrac1{18}$.

Складывая объёмы частей нижнего многогранника: $\dfrac{V_{CQPDMN}}{V_{SABCD}}=\dfrac1{18}+\dfrac16=\dfrac{2}{9}$.

Тогда верхняя часть составляет $1-\dfrac29=\dfrac79$ объёма пирамиды, и искомое отношение $\dfrac{V_{CQPDMN}}{V_{PQNMSBA}}=\dfrac{2/9}{7/9}=\dfrac27$.