Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Треугольник $MBC$ равносторонний, поэтому $BT=\frac{1}{4}BM=2$, $CP=\frac{1}{2}CM=4$, а углы $\angle TBC=\angle PCB=60^\circ$ (углы равностороннего треугольника). В треугольниках $TBC$ и $PCB$ сторона $BC=8$ общая, углы при $B$ и $C$ равны, а $BT<CP$. По теореме косинусов $$CT^2=BT^2+BC^2-2\cdot BT\cdot BC\cos60^\circ,\qquad BP^2=CP^2+BC^2-2\cdot CP\cdot BC\cos60^\circ.$$ Функция $f(x)=x^2-8x+64$ убывает на промежутке $x<4$ и возрастает при $x>4$; при $x=2$: $f(2)=52$, при $x=4$: $f(4)=48$. Значит $CT^2=52>BP^2=48$, то есть $CT>BP$.

б) Пусть $AD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на $BC$. Так как плоскости $ABC$ и $MBC$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $BC$, а $AD\perp BC$ и лежит в плоскости $ABC$, то $AD$ перпендикулярна плоскости $MBC$, то есть служит высотой пирамиды $MPTA$, опущенной на плоскость основания $MPT$ (эта плоскость совпадает с плоскостью $MBC$, так как $P,T$ лежат на сторонах $MC,MB$).

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота равна $\frac{a\sqrt3}{2}$, поэтому $$AD=\frac{BC\sqrt3}{2}=\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3.$$

Теперь найдём площадь основания $MPT$. Поскольку $P$ — середина $MC$, а $T$ делит $MB$ в отношении $MT:TB=3:1$, имеем $MP=\frac12 MC$, $MT=\frac34 MB$. Используя формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними (общий угол $M$), получаем $$\frac{S_{MPT}}{S_{MBC}}=\frac{MP}{MC}\cdot\frac{MT}{MB}=\frac12\cdot\frac34=\frac38.$$ Площадь равностороннего треугольника со стороной 8: $$S_{MBC}=\frac{BC^2\sqrt3}{4}=\frac{64\sqrt3}{4}=16\sqrt3.$$ Тогда $$S_{MPT}=\frac38\cdot16\sqrt3=6\sqrt3.$$

Объём пирамиды считается по стандартной формуле $$V=\frac13 S_{MPT}\cdot AD=\frac13\cdot6\sqrt3\cdot4\sqrt3=\frac13\cdot24\cdot3=24.$$