Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Точка $O$ — середина диагонали $CB_1$ прямоугольника $BCC_1B_1$, значит она лежит и на диагонали $BC_1$, то есть в плоскости $ABC_1$. Рассмотрим треугольники $AD_1N$ и $OBN$: по свойству диагоналей параллелепипеда $AD_1\parallel BC_1$, поэтому углы при $N$ равны как вертикальные, а $\dfrac{AD_1}{BO}=2=\dfrac{D_1N}{BN}$ (так как $O$ — середина, а $BN:ND_1=1:2$). Значит треугольники подобны, и $\angle AD_1N=\angle D_1BC_1=\angle NBO$. Отсюда $\angle ANO=\angle AND_1+\angle D_1NO=\angle ONB+\angle D_1NO=\angle D_1NB=180^\circ$, то есть точки $A,N,O$ лежат на одной прямой.

б) Раз $NO$ — расстояние между скрещивающимися $BD_1$ и $CB_1$, отрезок $NO$ перпендикулярен обеим прямым. Тогда $CB_1\perp AB$ и $CB_1\perp AO$, значит $CB_1\perp$ плоскости $ABC_1$, а следовательно диагонали прямоугольника $BCC_1B_1$ взаимно перпендикулярны — значит это квадрат.

Из подобия треугольников $AD_1N$ и $OBN$: $AN=2NO=2\sqrt2$.

В прямоугольном треугольнике $ABO$ отрезок $BN$ — высота, опущенная на гипотенузу $AO=AN+NO=3\sqrt2$, поэтому $BN=\sqrt{AN\cdot NO}=\sqrt{2\sqrt2\cdot\sqrt2}=2$.

Тогда $BD_1=3BN=6$, а $BO=\sqrt{BN^2+NO^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt6$.

Из треугольника $ABO$: $AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=\sqrt{18-6}=2\sqrt3$.

Поскольку $BCC_1B_1$ — квадрат, $BC=BB_1=\sqrt2\cdot BO=2\sqrt3$.

Таким образом все ребра параллелепипеда равны $2\sqrt3$, и объём равен $V=(2\sqrt3)^3=24\sqrt3$.