Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Продолжим стороны $AB$ и $DC$ трапеции до пересечения в точке $E$. Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция с $AB=BC=CD$ и $AD=2BC$, отрезок $BC$ оказывается средней линией треугольника $AED$, а сам треугольник $AED$ равносторонний со стороной $AD=8$. Точка $C$ — середина $ED$, поэтому $AC$ — медиана равностороннего треугольника, а значит и его высота: $AC\perp ED$, т.е. $AC\perp CD$.

Так как $SA\perp$ плоскости основания, $AC$ — проекция наклонной $SC$ на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах $SC\perp CD$.

$P$ и $T$ — середины $SB$ и $BC$, значит $PT$ — средняя линия треугольника $SBC$, $PT\parallel SC$. Следовательно, $PT\perp CD$.

б) Пусть $H$ — точка пересечения прямой $TM$ (средней линии треугольника $ABC$, $TM\parallel AC$) с прямой $DE$ (той же, что $CD$). Так как $AC\perp ED$, то $TM\perp DH$; из пункта а) $PT\perp DH$. Значит $DH\perp$ плоскости $PTM$ — это высота пирамиды $DPTM$.

В равностороннем треугольнике $\angle CDA=60^\circ$, отсюда получаем $HC=\tfrac12 TC=\tfrac14 BC=1$, значит $DH=DC+HC=5$.

$PM$ — средняя линия треугольника $SAB$, $PM\parallel SA$, $PM=\tfrac12 SA=2$, причём $PM\perp$ плоскости основания (как и $SA$), поэтому $PM\perp TM$.

$TM=\tfrac12 AC=\tfrac12\cdot4\sqrt3=2\sqrt3$.

Площадь $S_{PTM}=\tfrac12\cdot PM\cdot TM=\tfrac12\cdot2\cdot2\sqrt3=2\sqrt3$.

Объём: $V=\dfrac13 S_{PTM}\cdot DH=\dfrac13\cdot2\sqrt3\cdot5=\dfrac{10\sqrt3}{3}$.