Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Обозначим сторону основания и боковое ребро пирамиды через $x$. Пусть $E$ — середина $BC$, тогда $SE$ — медиана треугольника $SBC$, а $M$ лежит на $SE$.

Шаг 1. В прямоугольном треугольнике $ABE$ ($\angle B=90^\circ$, $BE=\frac{x}{2}$) находим $AE=\sqrt{x^2+\frac{x^2}{4}}=\frac{x\sqrt5}{2}$.

Шаг 2. Треугольник $SBC$ равнобедренный ($SB=SC=x$), поэтому его медиана к основанию равна $SE=\sqrt{2x^2+2x^2-x^2}/2=\frac{x\sqrt3}{2}$.

Шаг 3. В треугольнике $ASE$ известны все стороны: $AS=x$, $SE=\frac{x\sqrt3}{2}$, $AE=\frac{x\sqrt5}{2}$. По теореме косинусов $\cos\angle ASE=\dfrac{AS^2+SE^2-AE^2}{2\cdot AS\cdot SE}=\dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Шаг 4. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$ от вершины, значит $SM=\frac23 SE=\frac{x\sqrt3}{3}$, а угол $\angle ASM=\angle ASE$ (точка $M$ лежит на луче $SE$).

Шаг 5. В треугольнике $ASM$ по теореме косинусов: $AM^2=AS^2+SM^2-2\cdot AS\cdot SM\cos\angle ASM=x^2+\frac{x^2}{3}-x^2\cdot\frac{2}{3}=x^2$. Отсюда $AM=x=AD$ — доказано.

Шаг 6 (пункт б). При $x=AD=6$ имеем $SA=AM=6$, $SM=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$. $N$ — середина $AM$, значит $SN$ — медиана треугольника $ASM$ к стороне $AM$. По формуле медианы: $$SN=\frac{\sqrt{2SA^2+2SM^2-AM^2}}{2}=\frac{\sqrt{2\cdot36+2\cdot12-36}}{2}=\frac{\sqrt{60}}{2}=\sqrt{15}.$$