Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Пусть $O$ — центр основания, $L$ — середина $AB$. Тогда $CL$ проходит через $O$, $CO:OL=2:1$. Двугранный угол при основании — угол $MLO$, его тангенс равен $\dfrac{MO}{OL}=3$, значит при $OL=x$ имеем $MO=3x$, $CO=2x$, $CL=3x$, а по теореме Пифагора $CM=\sqrt{CO^2+MO^2}=x\sqrt{13}$.

Плоскость $\alpha=(KAB)$ пересекает основание по $AB$, и так как $AB\perp CL$ (медиана равностороннего треугольника) и $AB\perp MO$ (высота пирамиды), то $AB\perp$ плоскости $MLC$. Значит, высоты треугольников $KAB$ и $CAB$, опущенные на $AB$, лежат в плоскости $MLC$ и равны $KL$ и $CL$ соответственно, поэтому $\dfrac{S_{KAB}}{S_{CAB}}=\dfrac{KL}{CL}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$, откуда $KL=\dfrac{9x}{\sqrt{13}}$.

Площадь треугольника $MLC$ можно посчитать двумя способами: как $\frac12\cdot CL\cdot MO=\frac{9x^2}{2}$ и как $\frac12\cdot CM\cdot h$, где $h$ — расстояние от $L$ до прямой $CM$. Отсюда $h=\dfrac{9x^2}{CM}=\dfrac{9x}{\sqrt{13}}=KL$. Значит, $K$ — основание перпендикуляра из $L$ на $MC$, то есть $KL\perp MC$. Так как $AB\perp$ плоскости $MLC\Rightarrow AB\perp MC$, а $KL$ и $AB$ пересекаются в плоскости $KAB$, получаем $MC\perp(KAB)$ — это и требовалось доказать (пункт а).

Теперь $MK$ и $CK$ — высоты пирамид $MABK$ и $CABK$ с общим основанием $ABK$, поэтому $\dfrac{V_{MABK}}{V_{CABK}}=\dfrac{MK}{CK}$.

Из прямоугольного треугольника $CKL$ ($\angle K=90^\circ$): $CK=\sqrt{CL^2-KL^2}=\sqrt{9x^2-\dfrac{81x^2}{13}}=\dfrac{6x}{\sqrt{13}}$.

Тогда $MK=CM-CK=x\sqrt{13}-\dfrac{6x}{\sqrt{13}}=\dfrac{7x}{\sqrt{13}}$, и $\dfrac{MK}{CK}=\dfrac{7}{6}$.

Поскольку $V_{MABK}+V_{CABK}=V_{MABC}$, получаем $V_{MABK}=\dfrac{7}{13}V_{MABC}=\dfrac{7}{13}\cdot52\sqrt5=28\sqrt5$.