Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Пусть $O$ — центр основания конуса, $SO$ — его ось, перпендикулярная плоскости основания. Так как $\angle SAO=\angle SBO=60^\circ$ (угол между образующей и плоскостью основания), а $OA=OB=R$, то из прямоугольных треугольников $SOA,\;SOB$ получаем $SA=\dfrac{OA}{\cos60^\circ}=2R=AB$. Значит $SA=SB=AB=SC=a$ — треугольник $ASB$ равносторонний, и все боковые ребра $SA=SB=SC$ равны $a$.

В треугольниках $ASC$ и $BSC$ (равнобедренных с боковыми сторонами $a$) по теореме косинусов: $$AC^2=2a^2(1-\cos\angle ASC),\qquad BC^2=2a^2(1-\cos\angle CSB).$$

Угол $ACB$ опирается на диаметр $AB$, поэтому $\angle ACB=90^\circ$ и по Пифагору $AC^2+BC^2=AB^2=a^2$. Подставляя выражения из шага 2: $$a^2=2a^2(1-\cos\angle ASC)+2a^2(1-\cos\angle CSB)\Rightarrow \cos\angle ASC+\cos\angle CSB=\frac32.$$ Что и требовалось доказать.

Для пункта б): $SC=1$, значит $a=1$. Из доказанного равенства $\cos\angle CSB=\dfrac32-\dfrac23=\dfrac56$.

Находим стороны треугольника $ABC$: $$AC^2=2(1-\tfrac23)=\tfrac23,\qquad BC^2=2(1-\tfrac56)=\tfrac13.$$

Так как $\angle ACB=90^\circ$, площадь основания $ABC$ равна $$S_{ABC}=\frac12\sqrt{\tfrac23}\cdot\sqrt{\tfrac13}=\frac{\sqrt2}{6}.$$

Высота тетраэдра — это отрезок $SO$, который одновременно является медианой (и высотой) равностороннего треугольника $ASB$ со стороной $a=1$: $$SO=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Объём тетраэдра: $$V_{SABC}=\frac13S_{ABC}\cdot SO=\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{36}.$$