Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Плоскость $\alpha\parallel AB$ пересекает грань $SAB$ по прямой $PN$ (где $P\in AS$), а грань $ABC$ — по прямой $EQ$ (где $Q\in BC$); обе прямые параллельны $AB$, иначе плоскость пересекла бы само ребро $AB$. Треугольники $SPN$ и $CEQ$ подобны равностороннему $\triangle ABS$ (угол $60^\circ$ при вершине и параллельность сторон), значит они равносторонние. Отсюда $AP=BN$, $AE=BQ$, а треугольники $APE$ и $BNQ$ равны по трём сторонам (SSS), поэтому $PE=NQ$. Так как $PN\parallel AB$ и $PN<AB$, четырёхугольник $EPNQ$ — трапеция с равными боковыми сторонами, т.е. равнобедренная.

б) Высота пирамиды из $S$: расстояние от $S$ до центра основания равно радиусу описанной окружности $R=\dfrac{AB}{\sqrt3}=2\sqrt3$, поэтому по теореме Пифагора $h=\sqrt{AS^2-R^2}=\sqrt{27-12}=\sqrt{15}$.

Поскольку $AP=\frac13AS$ (из подобия $SPN\sim SAB$ с коэффициентом $2/3$), высота маленькой пирамиды $P\!-\!AEQB$ равна $h_1=\frac23h=\frac{2\sqrt{15}}3$. Площадь основания $AEQB=S_{ABC}-S_{EQC}=\left(1-\left(\frac23\right)^2\right)S_{ABC}=\frac59\cdot\frac{6^2\sqrt3}{4}=5\sqrt3$. Тогда $V_{PAEQB}=\frac13h_1S_{AEQB}=\frac13\cdot\frac{2\sqrt{15}}3\cdot5\sqrt3=\frac{10\sqrt5}{3}$.

Для второй части $QNBP$ используем, что $S_{PBN}=\frac29S_{ABS}$, а соответствующая высота из $Q$ равна $\frac13h_2$ (где $h_2$ — высота из $C$). Отсюда $V_{QNBP}=\frac{2}{27}V_{SABC}=\frac{2}{27}\cdot\frac13\sqrt{15}\cdot\frac{6^2\sqrt3}{4}=\frac{2\sqrt5}{3}$.

Суммируя, $V_{APNQBE}=\frac{10\sqrt5}{3}+\frac{2\sqrt5}{3}=\frac{12\sqrt5}{3}=4\sqrt5$.