Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть диагональ $B_1D$ образует с гранями $AA_1D_1D$ и $DD_1C_1C$ угол $\alpha$, а с гранью $ABCD$ — угол $\beta$. Ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $AA_1D_1D$, поэтому проекция диагонали на эту грань — отрезок $DA_1$, а угол между диагональю и проекцией равен $\angle A_1DB_1=\alpha$. В прямоугольном треугольнике $A_1DB_1$ (прямой угол при $A_1$) получаем $A_1B_1=d\sin\alpha$. Аналогично из грани $DD_1C_1C$: $C_1B_1=d\sin\alpha$.

Так как $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, диагональ основания равна $BD^2=AB^2+BC^2=2d^2\sin^2\alpha$.

Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, проекция диагонали на неё — $DB$, угол с гранью $\beta$, значит в прямоугольном треугольнике $DBB_1$: $BB_1=d\sin\beta$.

По теореме Пифагора $B_1D^2=BD^2+BB_1^2$: $$d^2=2d^2\sin^2\alpha+d^2\sin^2\beta \ \Rightarrow\ 1=2\sin^2\alpha+\sin^2\beta \ \Rightarrow\ \sin^2\beta=1-2\sin^2\alpha=\cos2\alpha.$$ Что и требовалось доказать.

б) При $d=2\sqrt2$, $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$: $$A_1B_1=B_1C_1=d\sin\alpha=2\sqrt2\cdot\frac12=\sqrt2.$$ Из пункта а) $\sin^2\beta=\cos2\alpha=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$, значит $\sin\beta=\dfrac{1}{\sqrt2}$. $$BB_1=d\sin\beta=2\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt2}=2.$$ Объём параллелепипеда: $$V=A_1B_1\cdot B_1C_1\cdot BB_1=\sqrt2\cdot\sqrt2\cdot2=4.$$