Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Грани $SAB$ и $SBC$ перпендикулярны основанию и пересекаются по ребру $SB$, значит $SB\perp$ плоскости $ABCD$ (линия пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей, сама перпендикулярна ей). Опустим из $B$ высоты ромба $BK\perp AD$ и $BL\perp CD$. По теореме о трёх перпендикулярах $SK\perp AD$, $SL\perp CD$, поэтому $\angle SKB$ и $\angle SLB$ — линейные углы искомых двугранных углов. Так как $BK=BL$ (высоты ромба равны), прямоугольные треугольники $SBK$ и $SBL$ равны (общий катет $SB$, равные катеты $BK=BL$), следовательно $\angle SKB=\angle SLB$ — углы равны.

б) Поскольку $SB\perp$ основанию, $SB\perp AB$ и $SB\perp BC$, значит угол между гранями $SAB$ и $SBC$ равен $\angle ABC=120^\circ$, откуда $\angle BAD=60^\circ$. Тогда $\triangle ABD$ (стороны $AB=AD$) и $\triangle BCD$ — равносторонние, и это проекции граней $SAD$ и $SCD$ на основание (так как проекция $S$ есть $B$).

Площадь проекции связана с площадью грани через угол наклона: $S_{ABD}=S_{SAD}\cdot\cos\angle SKB=36\cdot\frac{\sqrt3}{2}=18\sqrt3$, аналогично $S_{BCD}=18\sqrt3$. Тогда площадь всего ромба $S_{ABCD}=36\sqrt3$.

Из площади равностороннего $\triangle ABD$: $\frac{AD^2\sqrt3}{4}=18\sqrt3\Rightarrow AD^2=72\Rightarrow AD=6\sqrt2$. Высота этого треугольника $BK=\frac{AD\sqrt3}{2}=3\sqrt6$.

Высота пирамиды $SB=BK\cdot\tan30^\circ=3\sqrt6\cdot\frac{1}{\sqrt3}=3\sqrt2$.

Объём: $V=\frac13 S_{ABCD}\cdot SB=\frac13\cdot36\sqrt3\cdot3\sqrt2=36\sqrt6$ см³.