Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания. Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $A_1A_2$. По теореме о трёх перпендикулярах $SH\perp A_1A_2$, значит угол $SHO$ — линейный угол двугранного угла при этом ребре, и $\tan\angle SHO=0{,}75=\dfrac34$.

Положим $SO=3x$, тогда $OH=4x$, а по Пифагору $SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=5x$.

Треугольники $SA_1A_2$ и $OA_1A_2$ имеют общее основание $A_1A_2$, а их высоты — $SH$ и $OH$ соответственно, поэтому отношение площадей равно отношению высот: $$\dfrac{S_{SA_1A_2}}{S_{OA_1A_2}}=\dfrac{SH}{OH}=\dfrac{5}{4}.$$ Так как все двугранные углы равны, это же соотношение верно для каждой боковой грани и соответствующего треугольника, на которые делится основание диагоналями из точки $O$. Складывая все такие треугольники, получаем $$\dfrac{S_{бок}}{S_{осн}}=\dfrac54,\qquad \dfrac{S_{полн}}{S_{осн}}=1+\dfrac54=\dfrac94.$$ Это и требовалось доказать: $S_{полн}:S_{осн}=9:4$.

б) Из доказанного соотношения $S_{осн}=\dfrac45 S_{бок}=\dfrac45\cdot20=16$.

Поскольку все двугранные углы у основания одинаковы, проекция $O$ вершины — точка, равноудалённая от всех сторон, то есть центр вписанной окружности; для ромба это точка пересечения диагоналей.

Пусть диагонали ромба $A_1A_3=4x,\ A_2A_4=6x$ (отношение $2:3$). Площадь ромба через диагонали: $$S_{осн}=\frac12 A_1A_3\cdot A_2A_4=12x^2=16\ \Rightarrow\ x=\dfrac{2\sqrt3}{3}.$$ Тогда половины диагоналей: $OA_1=\dfrac{4\sqrt3}{3},\ OA_2=2\sqrt3$.

Сторона ромба (гипотенуза прямоугольного треугольника с этими катетами): $$A_1A_2=\sqrt{OA_1^2+OA_2^2}=\dfrac{2\sqrt{39}}{3}.$$

Высота $OH$ треугольника $OA_1A_2$, опущенная на сторону $A_1A_2$, находится из площади: $$OH=\dfrac{2S_{OA_1A_2}}{A_1A_2}=\dfrac{S_{осн}}{2A_1A_2}=\dfrac{4\sqrt{39}}{13}.$$

Так как $\tan\angle SHO=\dfrac34=\dfrac{SO}{OH}$, получаем высоту пирамиды: $$SO=\dfrac34\cdot OH=\dfrac{3\sqrt{39}}{13}.$$

Объём пирамиды: $$V=\dfrac13 S_{осн}\cdot SO=\dfrac13\cdot16\cdot\dfrac{3\sqrt{39}}{13}=\dfrac{16\sqrt{39}}{13}.$$