Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Возьмём на $AD$ точку $L$ так, что $ML\perp CD$ — тогда $L$ лежит в сечении. В прямоугольном треугольнике $MLD$ угол $D=60^\circ$, значит $LD=2MD$. Так как $CM:MD=5:3$ и $CD=4$, то $MD=1{,}5$, откуда $LD=3$.

Плоскости $\alpha$ и $ABD$ обе перпендикулярны $ACD$, значит их линия пересечения $KL$ тоже перпендикулярна $ACD$, то есть $KL\perp AD$. В треугольнике $LKA$ угол $A=60^\circ$, поэтому $KA=2LA=2(AD-LD)=2$ — половина стороны $AB=4$, значит $K$ — середина $AB$.

б) Из прямоугольных треугольников находим $ML=\dfrac{3\sqrt3}{2}$, $LK=\sqrt3$.

Продолжим $LK$ до пересечения с $BD$ в точке $E$, а $EM$ — с $BC$ в точке $N$. В треугольнике $EBK$ угол при $B$ равен $120^\circ$ (внешний к правильному треугольнику), он равнобедренный, значит $EB=BK=2$, $EK=2\sqrt3$.

Через точку $B'$ на $BD$ с $BB':B'D=CM:MD=5:3$ проводим $B'M\parallel BN$, тогда по теореме о пропорциональных отрезках $EN:NM=EB:BB'=4:5$.

Отсюда $\dfrac{EK}{EL}=\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{EN}{EM}=\dfrac{4}{9}$, значит площадь $\triangle EKN$ составляет $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{27}$ от площади $\triangle ELM$.

Площадь прямоугольного $\triangle ELM$: $S=\dfrac12\cdot EL\cdot LM=\dfrac12\cdot 3\sqrt3\cdot\dfrac{3\sqrt3}{2}=\dfrac{27}{4}$.

Сечение $KLMN$ — разность треугольников $ELM$ и $EKN$: $S=\left(1-\dfrac{8}{27}\right)\cdot\dfrac{27}{4}=\dfrac{19}{27}\cdot\dfrac{27}{4}=\dfrac{19}{4}$.