Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть $K$ — середина $AB$. В треугольнике $ABM$ отрезок $MK$ — медиана, а точка пересечения медиан $Q$ делит её от вершины $M$ в отношении $MQ:QK=2:1$.

Поскольку боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, проекция отрезка $MK$ на плоскость $ABC$ — это отрезок $CK$ (точка $M$ на $CC_1$ проецируется в $C$, а $K$ остаётся на месте). При параллельном (ортогональном) проецировании отношения отрезков на прямой сохраняются, поэтому проекция точки $Q$ делит $CK$ в том же отношении $2:1$ от вершины $C$.

Но $K$ — середина $AB$, значит $CK$ — медиана треугольника $ABC$, а точка $O$ (центр описанной окружности правильного треугольника совпадает с точкой пересечения медиан) делит её именно в отношении $CO:OK=2:1$ от вершины $C$. Следовательно, проекция $Q$ на плоскость $ABC$ совпадает с $O$.

Прямая $OO_1$ по построению перпендикулярна плоскости $ABC$ (это ось правильной призмы), а значит все точки, проецирующиеся в $O$, лежат именно на этой прямой. Так как проекция $Q$ — это $O$, точка $Q$ лежит на прямой $OO_1$, что и требовалось доказать.

б) Объём искомой пирамиды удобно получить, вычитая из объёма призмы (треугольной пирамиды с основанием $ABC$ и вершиной $C_1$) объём пирамиды $ABCM$: $$V_{ABMC_1}=V_{ABCC_1}-V_{ABCM}=\frac13 S_{ABC}\cdot CC_1-\frac13 S_{ABC}\cdot CM=\frac13 S_{ABC}(CC_1-CM).$$

Это верно, так как обе пирамиды имеют общее основание $ABC$, а высоты равны $CC_1$ и $CM$ соответственно (точки $C_1$ и $M$ лежат на одной прямой $CC_1$, перпендикулярной плоскости $ABC$).

Площадь равностороннего треугольника со стороной 6: $$S_{ABC}=\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3.$$

Подставляя $CC_1-CM=3-1=2$, получаем $$V_{ABMC_1}=\frac13\cdot 2\cdot 9\sqrt3=6\sqrt3.$$