Решение равнобедренного треугольника: задание 1 ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

Задание 1 в профильном ЕГЭ по математике проверяет умение применять базовые факты планиметрии для нахождения сторон, углов, площади или других элементов треугольника. Равнобедренный треугольник — один из самых частых героев этого задания, потому что в нём работает одно ключевое свойство, которое сразу превращает задачу в работу с прямоугольным треугольником. Именно поэтому такие задачи решаются быстро, если знать нужный приём, и превращаются в путаницу, если пытаться подбирать формулы наугад.

Обычно в условии даны две стороны (основание и боковая сторона) или сторона и угол, а найти нужно третий элемент: сторону, высоту, площадь или угол. Задача решается за 3–5 строк, но требует аккуратности в применении теоремы Пифагора и тригонометрических соотношений.

Что нужно знать

Для решения задач этой подтемы достаточно всего нескольких фактов.

1. Определение. Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья — основанием. Углы при основании равны между собой.

2. Главное свойство — совпадение высоты, медианы и биссектрисы. Если в треугольнике $ABC$ выполнено $AC = BC$, то высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины $C$ к основанию $AB$, — это один и тот же отрезок $CH$. Отсюда следует самое важное для решения: $$AH = HB = \frac{AB}{2}.$$ Это свойство превращает исходный треугольник в два равных прямоугольных треугольника $ACH$ и $BCH$, в которых можно применять теорему Пифагора и тригонометрию прямоугольного треугольника.

3. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $$c^2 = a^2 + b^2.$$ В треугольнике $CHB$ гипотенузой является боковая сторона, а катетами — высота $CH$ и половина основания $HB$.

4. Тригонометрия прямоугольного треугольника. Для угла при основании (например, угла $A$) в прямоугольном треугольнике $ACH$: $$\sin A = \frac{CH}{AC}, \qquad \cos A = \frac{AH}{AC}.$$ Здесь $AC$ — гипотенуза (боковая сторона), $CH$ — противолежащий катет (высота), $AH$ — прилежащий катет (половина основания).

5. Основное тригонометрическое тождество $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ позволяет найти косинус угла, если известен синус, и наоборот. Важно: угол при основании равнобедренного треугольника — всегда острый (сумма двух углов при основании меньше $180^\circ$, а если бы один из них был больше $90^\circ$, второй тоже был бы больше $90^\circ$ — сумма превысила бы $180^\circ$). Значит, при извлечении корня берём только положительное значение.

6. Формула площади треугольника через основание и высоту: $$S = \frac12 \cdot a \cdot h,$$ где $a$ — основание, $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

Этих шести пунктов достаточно, чтобы решить почти любую задачу на равнобедренный треугольник в первом задании ЕГЭ.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач этой подтемы почти всегда одинаковый.

Шаг 1. Определите, какая сторона — основание, а какие боковые. Обычно в условии равные стороны обозначены одинаковыми переменными или прямо сказано «боковая сторона» и «основание». Если дан треугольник $ABC$ с условием $AC = BC$, то основанием является сторона $AB$ (она не входит в равенство), а вершина $C$ — вершина, из которой опускается высота-медиана.

Шаг 2. Проведите высоту к основанию. Обозначьте точку пересечения высоты с основанием, например $H$. Эта высота одновременно медиана, поэтому основание делится ею ровно пополам.

Шаг 3. Выделите прямоугольный треугольник. Высота разбивает исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Работайте с одним из них — обычно это удобнее, чем со всем треугольником.

Шаг 4. Определите, что известно и что нужно найти в этом прямоугольном треугольнике. Гипотенуза — боковая сторона исходного треугольника, катеты — высота и половина основания.

Шаг 5. Примените подходящий инструмент:

• если известны две стороны прямоугольного треугольника — теорему Пифагора;
• если известны сторона и угол — тригонометрические соотношения ($\sin$, $\cos$, $\tan$) и, при необходимости, тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Шаг 6. Вернитесь к исходному вопросу задачи. Если нужно найти основание — умножьте найденную половину основания на 2. Если нужно найти площадь — используйте найденные основание и высоту. Если нужно найти угол — не забудьте учесть, что углы при основании острые.

Этот алгоритм работает независимо от того, что именно дано в условии — стороны или сторона с углом.

Разбор примера

Пример 1

Условие. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 5$, $\sin A = \dfrac{7}{25}$. Найдите $AB$.

Шаг 1. Определяем структуру треугольника. Так как $AC = BC = 5$, треугольник равнобедренный с боковыми сторонами $AC$ и $BC$, основанием служит сторона $AB$ — именно её нужно найти.

Шаг 2. Проводим высоту. Опустим высоту из вершины $C$ на основание $AB$, обозначим точку пересечения $H$. Поскольку треугольник равнобедренный, высота $CH$ является одновременно и медианой, значит $$AB = 2AH.$$ Это ключевой переход: вместо всего треугольника достаточно найти половину основания $AH$ в прямоугольном треугольнике $ACH$.

Шаг 3. Находим $\cos A$. Угол $A$ — угол при основании равнобедренного треугольника, значит он острый, и косинус положителен: $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{\frac{625-49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}.$$

Шаг 4. Работаем в прямоугольном треугольнике $ACH$. В этом треугольнике угол $H$ — прямой, гипотенуза $AC = 5$, а $AH$ — прилежащий катет к углу $A$. По определению косинуса: $$\cos A = \frac{AH}{AC} \quad\Rightarrow\quad AH = AC \cdot \cos A = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{24}{5} = 4{,}8.$$

Шаг 5. Возвращаемся к вопросу задачи. Так как $AB = 2AH$: $$AB = 2 \cdot 4{,}8 = 9{,}6.$$

Ответ: 9,6.

Обратите внимание, что вся сложность задачи свелась к переходу от синуса к косинусу через основное тригонометрическое тождество и к применению определения косинуса в прямоугольном треугольнике. Без свойства «высота = медиана» пришлось бы решать задачу иначе, более сложным путём.

Пример 2

Условие. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, основание равно 6. Найдите площадь треугольника.

Шаг 1. Определяем структуру. Боковые стороны равны 5, основание равно 6. Обозначим треугольник $ABC$, где $AB = 6$ — основание, $AC = BC = 5$ — боковые стороны.

Шаг 2. Проводим высоту к основанию. Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на сторону $AB$. Так как высота совпадает с медианой, она делит основание пополам: $$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Шаг 3. Находим высоту по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике $CHB$ гипотенуза — боковая сторона $CB = 5$, один катет — $HB = 3$, второй катет — искомая высота $CH$: $$CH = \sqrt{CB^2 - HB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4.$$

Шаг 4. Вычисляем площадь. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к нему: $$S = \frac12 \cdot AB \cdot CH = \frac12 \cdot 6 \cdot 4 = 12.$$

Ответ: 12.

Здесь важно увидеть классическую тройку $3$–$4$–$5$: она часто встречается в задачах на равнобедренный треугольник и позволяет проверить вычисления устно, без калькулятора.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Неверное определение основания. Иногда путают, какая сторона — основание, а какие боковые. Если дано $AC = BC$, то основание — именно сторона $AB$, а не одна из равных сторон. Внимательно смотрите, какие буквы совпадают в условии равенства сторон.

Ошибка 2. Забывают, что высота делит основание пополам, и пытаются искать высоту через всю сторону. Это приводит к неверному прямоугольному треугольнику и неверным вычислениям. Всегда фиксируйте: высота-медиана делит именно основание, а не боковую сторону.

Ошибка 3. Неверный знак при извлечении корня из $\cos^2$ или $\sin^2$. Угол при основании равнобедренного треугольника всегда острый, поэтому и синус, и косинус этого угла положительны. Ошибочно взять отрицательный корень — распространённая техническая ошибка, особенно под давлением времени на экзамене.

Ошибка 4. Путают, какой катет прилежащий, а какой противолежащий, при использовании синуса и косинуса. Перед тем как писать формулу, чётко определите: гипотенуза — это боковая сторона (напротив прямого угла), прилежащий катет к углу при основании — это половина основания, противолежащий катет — высота.

Ошибка 5. Забывают удвоить половину основания. Найдя $AH$, иногда сразу записывают его как ответ, забывая, что искали полное основание $AB = 2AH$. Всегда сверяйтесь с тем, что именно спрашивается в условии.

Ошибка 6. Ошибки в арифметике при работе с обыкновенными дробями. Такие задачи часто содержат дробные значения синуса или косинуса вида $\frac{7}{25}$, и вычисления с квадратами дробей нужно делать аккуратно, не сокращая раньше времени и не теряя знаменатель.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как решать, обязательно сделайте (хотя бы схематичный) рисунок и отметьте на нём равные стороны — это сразу проясняет, где основание, а где боковые стороны, и исключает ошибку с их перепутыванием. Введите точку пересечения высоты с основанием и явно пропишите равенство $AH = HB$ — это опорный факт всего решения.

При работе с углом всегда мысленно проверяйте, острый он или тупой: угол при основании равнобедренного треугольника — всегда острый, а вот угол при вершине (между боковыми сторонами) может быть любым — острым, прямым или тупым. Это различие критично при извлечении квадратного корня из $\sin^2$ или $\cos^2$: для угла при основании берётся только положительный корень.

Если задача даёт угол не при основании, а при вершине, свойство «высота = медиана = биссектриса» всё равно работает, но высота делит угол при вершине пополам, а не угол при основании — учитывайте это при построении прямоугольного треугольника.

Держите в голове стандартные пифагоровы тройки: $3$–$4$–$5$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$ — они часто «зашифрованы» в условии и позволяют проверить промежуточный результат устно, без долгих вычислений корня.

Наконец, всегда возвращайтесь к формулировке вопроса перед тем как записать финальный ответ: спрашивают именно ту величину, которую вы нашли, или нужно ещё одно действие (умножить на 2, подставить в формулу площади, найти периметр). Экономьте время, но не жертвуйте точностью — задание 1 короткое именно потому, что рассчитано на быстрое, но безошибочное применение изученного алгоритма.