Задача 27288. Решение равнобедренного треугольника

Треугольник ABC равнобедренный (AC = BC = 7), поэтому высота CH, проведённая из вершины C к основанию AB, делит его пополам. Это ключевое свойство равнобедренного треугольника.

В прямоугольном треугольнике ACH имеем:

• AH — половина основания AB
• AC = 7 — боковая сторона (гипотенуза)
• Угол A известен: $\tan A = \frac{33}{4\sqrt{33}}$

Чтобы найти AB, используем связь между тангенсом и косинусом через основное тригонометрическое тождество: $$\cos A = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 A}}$$

Вычислим $\tan^2 A$: $$\tan^2 A = \left(\frac{33}{4\sqrt{33}}\right)^2 = \frac{33^2}{16 \cdot 33} = \frac{33}{16}$$

Тогда: $$\cos A = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{33}{16}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{49}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}$$

В прямоугольном треугольнике ACH: $$AH = AC \cdot \cos A = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4$$

Поскольку высота делит основание пополам: $$AB = 2AH = 2 \cdot 4 = 8$$