ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27284. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC AC  =  BC  =  5, синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . Найдите АВ.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: Высота к основанию равнобедренного треугольника делит его пополам, а проекция боковой стороны равна ACcos⁡AAC\cos A, где cos⁡A\cos A найден через основное тригонометрическое тождество.

1. Проведём высоту CHCH к основанию ABAB. В равнобедренном треугольнике (AC=BCAC=BC) высота из вершины CC является и медианой, значит AB=2AHAB=2AH.

2. Найдём cos⁡A\cos A. Угол AA — острый (это угол при основании равнобедренного треугольника), поэтому cos⁡A=1−sin⁡2A=1−(725)2=625−49625=2425.\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{625-49}{625}}=\frac{24}{25}.

3. Из прямоугольного треугольника ACHACH: AH=AC⋅cos⁡A=5⋅2425=245=4,8.AH=AC\cdot\cos A=5\cdot\frac{24}{25}=\frac{24}{5}=4{,}8.

4. Тогда AB=2AH=2⋅4,8=9,6.AB=2AH=2\cdot4{,}8=9{,}6.

Типичные ошибки

  • Забывают удвоить AHAH и дают в ответе 4,8.
  • Используют синус вместо косинуса: AH=5⋅725AH=5\cdot\frac{7}{25}.
  • Ошибаются в вычислении cos⁡A\cos A (например, берут 1825\frac{18}{25} вместо 2425\frac{24}{25}).

Ещё задачи этой подтемы