ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27285. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  9,6, синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . Найдите AC.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам; из прямоугольного треугольника через косинус угла выражаем боковую сторону, а косинус находим из синуса через основное тригонометрическое тождество.

Треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, значит, угол A равен углу B. Проведём высоту CH из вершины C на основание AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам, поэтому AH = AB/2 = 9,6/2 = 4,8.

В прямоугольном треугольнике ACH угол A — острый угол. Используем определение косинуса: cos⁡A=AHAC\cos A = \frac{AH}{AC}

Отсюда: AC=AHcos⁡AAC = \frac{AH}{\cos A}

Нам известен sin⁡A=725\sin A = \frac{7}{25}. Найдём cos⁡A\cos A из основного тригонометрического тождества: cos⁡2A=1−sin⁡2A=1−(725)2=1−49625=576625\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}

Поскольку A — угол треугольника, cos⁡A>0\cos A > 0: cos⁡A=2425\cos A = \frac{24}{25}

Подставляем в формулу для AC: AC=4,82425=4,8⋅2524=4,8⋅2524=12024=5AC = \frac{4,8}{\frac{24}{25}} = 4,8 \cdot \frac{25}{24} = \frac{4,8 \cdot 25}{24} = \frac{120}{24} = 5

Типичные ошибки

  • Забыли, что высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, и использовали всё AB вместо AH
  • Ошибка в вычислении cos⁡A\cos A: неправильно вычислили 1−sin⁡2A1 - \sin^2 A или получили отрицательное значение вместо положительного
  • Арифметическая ошибка при делении дроби: неправильно выполнили операцию 4,8:24254,8 : \frac{24}{25}

Ещё задачи этой подтемы