Задача 27289. Решение равнобедренного треугольника

Треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, поэтому если опустить высоту CH из вершины C на основание AB, она будет и медианой. Значит, AH = AB/2 = 4.

В прямоугольном треугольнике ACH угол A — это угол исходного треугольника ABC. Используем связь между тангенсом и косинусом через основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 A = \frac{1}{1 + \tan^2 A}$$

Подставим $\tan A = \frac{33}{4\sqrt{33}}$:

$$\tan^2 A = \frac{33^2}{16 \cdot 33} = \frac{33}{16}$$

$$1 + \tan^2 A = 1 + \frac{33}{16} = \frac{49}{16}$$

$$\cos^2 A = \frac{1}{49/16} = \frac{16}{49}$$

$$\cos A = \frac{4}{7}$$

В прямоугольном треугольнике ACH:

$$\cos A = \frac{AH}{AC}$$

$$AC = \frac{AH}{\cos A} = \frac{4}{4/7} = 7$$