Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия — треугольники, окружности, трапеции

Что проверяет задание

Задание 1 профильного ЕГЭ проверяет базовое владение планиметрией: умение применять свойства треугольников (в том числе прямоугольных и равнобедренных), параллелограммов, трапеций, а также фактов о вписанных и центральных углах, касательных, хордах и секущих, вписанных и описанных окружностях. Здесь не требуется сложных построений — нужно быстро узнать нужную формулу или теорему и аккуратно провести вычисление.

Задание проверяет:

• знание определений синуса, косинуса, тангенса острого угла;
• знание теоремы Пифагора и основного тригонометрического тождества;
• свойства сторон и углов параллелограмма и трапеции;
• теоремы о вписанном и центральном угле, угле между касательной и хордой;
• свойства касательных, хорд, секущих;
• формулы, связывающие стороны треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = a$, $\sin A = m$. Найдите $AB$» (или $BC$, или $\cos A$, $\operatorname{tg}A$). Также встречаются формулировки про параллелограмм («найдите сторону/угол/диагональ»), трапецию («найдите основание/высоту»), окружность («найдите угол, дугу, радиус»).

Задание оценивается 1 первичным баллом. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, вводится без единиц измерения. Задание считается одним из самых простых в экзамене, поэтому ошибка здесь особенно обидна — нужно доводить решение до автоматизма.

Что нужно знать

Прямоугольный треугольник ($\angle C = 90^\circ$): $$\sin A=\frac{BC}{AB},\quad \cos A=\frac{AC}{AB},\quad \operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC},\quad AB^2=AC^2+BC^2.$$ Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Для острого угла оба значения положительны.

Равнобедренный треугольник: углы при основании равны; высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают и делят его пополам — это часто превращает задачу в прямоугольный треугольник.

Треугольник общего вида:

• теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$;
• теорема косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$;
• площадь: $S=\dfrac12ab\sin C$;
• сумма углов равна $180^\circ$.

Параллелограмм: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, сумма соседних углов равна $180^\circ$, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Площадь: $S=ab\sin\alpha$.

Трапеция: основания параллельны, сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Средняя линия: $m=\dfrac{a+b}{2}$, площадь $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$.

Центральные и вписанные углы: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $\angle ACB=\dfrac12\smile AB$. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Касательная, хорда, секущая:

• касательная перпендикулярна радиусу в точке касания;
• отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны;
• угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри угла;
• произведение отрезков пересекающихся хорд равно: $AK\cdot KB=CK\cdot KD$;
• для секущих из внешней точки: $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.

Вписанная окружность треугольника: радиус $r=\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.

Описанная окружность треугольника: радиус $R=\dfrac{a}{2\sin A}$.

Вписанные и описанные многоугольники: в четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны; вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Методы решения

1. Прямоугольный треугольник — через определение тригонометрической функции. Если известны сторона и одна тригонометрическая функция угла, сразу выражаем нужную сторону через отношение сторон. Пример: $\angle C=90^\circ$, $AC=4$, $\cos A=0{,}5$. Тогда $AB=\dfrac{AC}{\cos A}=\dfrac{4}{0{,}5}=8$.

2. Прямоугольный треугольник — через основное тригонометрическое тождество. Если дан синус, а нужен катет, прилежащий к углу, сначала находим косинус (или наоборот), а затем считаем тангенс или напрямую применяем определение. Пример: $\sin A=\dfrac{7}{25}$, тогда $\cos A=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\dfrac{24}{25}$, и через $\cos A=\dfrac{AC}{AB}$ находим гипотенузу.

3. Равнобедренный треугольник — сведение к прямоугольному. Опускаем высоту на основание — она делит его пополам и образует прямоугольный треугольник, в котором применяем теорему Пифагора или тригонометрию. Пример: в равнобедренном треугольнике с боковой стороной 5 и основанием 6 высота к основанию равна $\sqrt{5^2-3^2}=4$.

4. Треугольник общего вида — теоремы синусов и косинусов. Если известны две стороны и угол между ними — теорема косинусов даёт третью сторону; если известны сторона и противолежащий угол — теорема синусов связывает стороны с радиусом описанной окружности. Пример: $a=3$, $b=4$, $\angle C=60^\circ$, тогда $c^2=9+16-2\cdot3\cdot4\cdot0{,}5=13$, $c=\sqrt{13}$.

5. Окружности — теорема о вписанном угле и свойства касательных. Если задан центральный угол, вписанный угол на ту же дугу равен половине от него; угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги; для хорд/секущих используем произведения отрезков. Пример: центральный угол равен $80^\circ$, тогда вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $40^\circ$.

6. Параллелограммы и трапеции — использование свойств параллельности. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$; в параллелограмме противоположные стороны равны, диагонали делятся пополам — эти факты часто сразу дают ответ без вычислений. Пример: если один угол параллелограмма равен $70^\circ$, соседний равен $180^\circ-70^\circ=110^\circ$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и определить фигуру (треугольник, параллелограмм, трапеция, окружность с хордами/касательными).
2. Если есть рисунок — сопоставить обозначения на рисунке с текстом, отметить, какой угол прямой, какая сторона гипотенуза/катет, какие дуги равны.
3. Выбрать подходящий факт или формулу: для прямоугольного треугольника — определения тригонометрических функций и теорему Пифагора; для окружности — теоремы о вписанном/центральном угле или произведения отрезков хорд/секущих; для параллелограмма и трапеции — свойства сторон и углов.
4. Если дана одна тригонометрическая функция, а нужна другая — использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, учитывая знак (для острого угла всё положительно).
5. Составить уравнение и выразить искомую величину.
6. Подставить числа и вычислить, при необходимости упростить дробь.
7. Проверить правдоподобность ответа: гипотенуза должна быть больше катета, сумма углов треугольника равна $180^\circ$, дуга не может быть больше $360^\circ$ и т. д.

Разбор примеров

Пример 1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC=4{,}8$, $\sin A=\dfrac{7}{25}$. Найдите $AB$.

Так как $\angle C=90^\circ$, сторона $AC$ — прилежащий к углу $A$ катет, а $AB$ — гипотенуза, поэтому удобно использовать косинус: $\cos A=\dfrac{AC}{AB}$.

Шаг 1. Находим косинус по основному тождеству (угол острый, косинус положителен): $$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{625-49}{625}}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}.$$

Шаг 2. Выражаем гипотенузу: $$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{4{,}8}{\frac{24}{25}}=4{,}8\cdot\frac{25}{24}=5.$$

Ответ: $5$.

Пример 2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC=2$, $\sin A=\dfrac{\sqrt{17}}{17}$. Найдите $BC$.

Шаг 1. Катет $AC$ прилежит к углу $A$, катет $BC$ противолежит ему, поэтому $BC=AC\cdot\operatorname{tg}A$.

Шаг 2. Находим косинус угла $A$: $$\sin A=\frac{\sqrt{17}}{17}=\frac{1}{\sqrt{17}},\qquad \cos A=\sqrt{1-\frac{1}{17}}=\sqrt{\frac{16}{17}}=\frac{4}{\sqrt{17}}.$$

Шаг 3. Считаем тангенс: $$\operatorname{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{1/\sqrt{17}}{4/\sqrt{17}}=\frac14.$$

Шаг 4. Подставляем: $$BC=AC\cdot\operatorname{tg}A=2\cdot\frac14=0{,}5.$$

Ответ: $0{,}5$.

Пример 3. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC=4$, $\cos A=0{,}5$. Найдите $AB$.

Катет $AC$ прилежит к углу $A$, $AB$ — гипотенуза, поэтому: $$\cos A=\frac{AC}{AB}\ \Rightarrow\ AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{4}{0{,}5}=8.$$

Ответ: $8$.

Во всех трёх примерах ключевой момент один и тот же: правильно определить, какая сторона играет роль катета, прилежащего или противолежащего углу, а какая — гипотенузы, и подставить это в определение синуса, косинуса или тангенса.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница прилежащего и противолежащего катета относительно угла — приводит к использованию не той тригонометрической функции.
• Забывают, что для острого угла в прямоугольном треугольнике синус и косинус всегда положительны, и теряют знак при извлечении корня в основном тождестве.
• Перепутывают, какая вершина является прямым углом — из-за этого неверно определяют гипотенузу.
• В задачах на окружность путают вписанный угол с центральным (забывают делить на 2 или, наоборот, умножают там, где не нужно).
• В параллелограмме считают противоположные углы равными сумме $180^\circ$ вместо соседних — путают свойства.
• В трапеции забывают, что средняя линия равна полусумме оснований, а не их сумме.
• Ошибки в арифметике при переводе десятичных дробей в обыкновенные и обратно (например, $0{,}5=\dfrac12$).
• Не проверяют правдоподобность ответа: гипотенуза не может быть меньше катета, вписанный угол не может быть больше $90^\circ$, если опирается не на полуокружность и т.д.

Как готовиться

• Выучить наизусть определения синуса, косинуса, тангенса острого угла и теорему Пифагора — довести до автоматизма без подглядывания.
• Повторить свойства равнобедренного треугольника и приём «высота делит основание пополам» — он сводит многие задачи к прямоугольному треугольнику.
• Освежить теоремы синусов и косинусов, площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними.
• Составить и выучить карточку с фактами о параллелограмме и трапеции: суммы углов, свойства диагоналей, средняя линия.
• Отдельно проработать блок «окружности»: вписанный и центральный угол, угол между касательной и хордой, свойства пересекающихся хорд и секущих — это самая частая зона ошибок.
• Решить не менее 30–40 задач именно этого типа из разных вариантов, чтобы натренировать быстрое распознавание, какая теорема нужна.
• После каждой решённой задачи делать проверку: подставлять числа обратно и оценивать реалистичность ответа (стороны, углы, дуги должны быть в допустимых границах).
• Вести список личных ошибок и периодически его пересматривать перед экзаменом.