Задание 1 ЕГЭ: описанные окружности, вписанные углы и вписанные четырёхугольники

О чём эта подтема

В задании 1 ЕГЭ по профильной математике часто встречаются задачи, где точки лежат на одной окружности, а фигура (треугольник или четырёхугольник) вписана в неё — то есть все её вершины находятся на окружности, а сама окружность называется описанной около этой фигуры. Такие задачи проверяют знание одного ключевого факта — теоремы о вписанном угле, а также свойства вписанного четырёхугольника.

Типичные формулировки: точки делят окружность на дуги в заданном отношении, нужно найти угол треугольника; или дан один угол вписанного четырёхугольника, нужно найти другой. Все эти задачи решаются буквально в 2–3 шага, если чётко понимать связь между дугой окружности и углом, который на неё опирается.

Важно не путать эту подтему с задачами на вписанную окружность (окружность внутри многоугольника, касающаяся его сторон) — там работают другие свойства (радиус, касательные, биссектрисы). В теме «описанные окружности» всегда работает связь «дуга — угол», и почти вся сложность задачи сводится к аккуратному составлению уравнения на дуги или углы.

Что нужно знать

1. Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Если многоугольник вписан в окружность, то он называется вписанным, а окружность — описанной.

2. Полный угол окружности. Сумма всех дуг, на которые окружность делится точками, равна $360°$. Это базовое уравнение почти для всех задач с отношением дуг.

3. Теорема о вписанном угле. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается (то есть дуги, не содержащей вершину этого угла): $$\angle ABC = \frac{1}{2}\smile AC$$ где дуга $AC$ — та, что не содержит точку $B$.

4. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90°$. Это частный случай теоремы о вписанном угле, когда дуга, на которую опирается угол, равна $180°$.

5. Равные вписанные углы. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (с одной стороны от хорды), равны между собой.

6. Центральный угол. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере самой дуги. Значит, центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

7. Свойство вписанного четырёхугольника. Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180°$: $$\angle A + \angle C = 180°, \qquad \angle B + \angle D = 180°$$ Это свойство работает только для противоположных углов (то есть тех, что не являются соседними), а не для любой пары.

8. Сумма углов треугольника всегда равна $180°$ — это стандартный факт, но его удобно использовать для проверки ответа, если находите все три угла треугольника, вписанного в окружность.

Этого набора фактов достаточно для решения практически всех задач подтемы в задании 1.

Как решать: метод и алгоритм

Большинство задач укладывается в следующий алгоритм.

Шаг 1. Определить тип данных. Что дано в условии — величины дуг, отношение дуг или углы фигуры (треугольника/четырёхугольника)?

Шаг 2. Если даны отношения дуг — ввести переменную. Пусть одна часть отношения равна $x$. Выразить все дуги через $x$ и составить уравнение, используя тот факт, что сумма всех дуг окружности равна $360°$. Решить уравнение относительно $x$, затем найти величину каждой дуги.

Шаг 3. Определить, какая дуга соответствует нужному углу. Если нужно найти угол треугольника, вписанного в окружность, вспомнить: угол опирается на ту дугу, которая не содержит его вершину. Часто это дуга, «противоположная» вершине угла, то есть дуга между двумя другими точками.

Шаг 4. Применить теорему о вписанном угле. Разделить найденную дугу на 2, чтобы получить искомый угол: $$\text{Угол} = \frac{\text{дуга}}{2}$$

Шаг 5. Если речь о вписанном четырёхугольнике — сразу использовать свойство суммы противоположных углов, равной $180°$, без вычисления дуг (если дуги не даны явно).

Шаг 6. Проверить ответ. Для треугольника — сумма всех трёх углов должна быть $180°$. Для четырёхугольника — сумма всех четырёх углов должна быть $360°$, а противоположные пары — по $180°$.

Этот алгоритм покрывает и более сложные вариации: например, если в задаче даны не дуги, а углы, и нужно восстановить дуги — тогда действия выполняются в обратном порядке (угол умножается на 2, чтобы получить дугу).

Разбор примера

Пример 1. Точки $A$, $B$, $C$, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как $1:3:5$. Найдите больший угол треугольника $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Шаг 1. Вводим переменную. Пусть одна часть отношения равна $x$. Тогда три дуги равны $x$, $3x$ и $5x$.

Шаг 2. Составляем уравнение. Сумма всех дуг окружности равна $360°$: $$x + 3x + 5x = 360°$$ $$9x = 360°$$ $$x = 40°$$

Значит, дуги равны $40°$, $120°$ и $200°$.

Шаг 3. Определяем, какой угол самый большой. Каждый угол треугольника $ABC$ — вписанный, и он опирается на дугу, не содержащую его вершину. Чем больше такая дуга, тем больше угол. Наибольшая дуга здесь равна $200°$, значит, ей соответствует наибольший угол треугольника.

Шаг 4. Находим угол. По теореме о вписанном угле: $$\text{Угол} = \frac{200°}{2} = 100°$$

Проверка. Оставшиеся углы опираются на дуги $40°$ и $120°$, то есть равны $20°$ и $60°$. Сумма: $100° + 20° + 60° = 180°$ — совпадает с суммой углов треугольника, значит, решение верно.

Ответ: 100°

Пример 2. Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $58°$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Шаг 1. Определяем тип задачи. Четырёхугольник вписан в окружность — значит, работает свойство суммы противоположных углов, равной $180°$.

Шаг 2. Определяем, какие углы противоположные. В четырёхугольнике $ABCD$ вершины идут по кругу в порядке $A, B, C, D$. Противоположными являются пары $A$–$C$ и $B$–$D$ (то есть вершины, между которыми находится ровно одна другая вершина с каждой стороны). Значит, $A$ и $C$ — противоположные углы.

Шаг 3. Составляем уравнение. $$\angle A + \angle C = 180°$$ $$58° + \angle C = 180°$$

Шаг 4. Находим угол $C$. $$\angle C = 180° - 58° = 122°$$

Ответ: 122°

Оба примера показывают: главное — правильно определить, какая дуга или какой угол связан с искомым по теореме о вписанном угле или по свойству вписанного четырёхугольника, а дальше решение сводится к простой арифметике.

Типичные ошибки

• Путают дугу, на которую опирается угол, с дугой, где расположена сама вершина. Нужно твёрдо запомнить: угол опирается на противоположную (не содержащую его вершину) дугу.

• Забывают, что сумма всех дуг окружности равна $360°$, а не $180°$. Эта ошибка часто встречается по аналогии с суммой углов треугольника — важно не путать эти два разных факта.

• Неправильно определяют противоположные углы четырёхугольника. В четырёхугольнике $ABCD$ противоположны пары $A$–$C$ и $B$–$D$, а не соседние вершины вроде $A$–$B$. Ошибка в выборе пары сразу даёт неверный ответ.

• Путают вписанный угол с центральным. Вписанный угол равен половине дуги, а центральный — равен самой дуге. Смешение этих понятий даёт ответ, отличающийся ровно в два раза от правильного.

• Ошибки при делении отношения на части. При отношении дуг $1:3:5$ иногда забывают, что сумма коэффициентов равна $9$, и делят $360°$ не на ту сумму — стоит всегда проверять сумму коэффициентов перед делением.

• Не проверяют финальный ответ. Простая проверка (сумма углов треугольника — $180°$, сумма противоположных углов четырёхугольника — $180°$) позволяет сразу заметить арифметическую ошибку.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задач этой подтемы стоит действовать быстро, но не терять аккуратность. Сначала чётко определите, что перед вами: задача на дуги и вписанные углы или задача на вписанный четырёхугольник — от этого зависит, какую формулу применять.

Если в условии даны отношения дуг, сразу вводите переменную и составляйте уравнение на сумму дуг, равную $360°$ — не пытайтесь угадывать величины на глаз.

Обязательно фиксируйте, какая вершина треугольника соответствует какой дуге: удобно нарисовать окружность, отметить точки и дуги, чтобы не запутаться в том, какая дуга «противоположна» нужной вершине. Даже если рисунок дан в условии, лучше перерисовать его схематично и подписать величины дуг после вычислений.

При работе с вписанным четырёхугольником помните, что свойство суммы противоположных углов, равной $180°$, работает только для четырёхугольников, вписанных в окружность, — не путайте с обычными четырёхугольниками, где такого свойства нет.

В конце обязательно делайте самопроверку: для треугольника сумма всех углов должна быть ровно $180°$, для четырёхугольника — сумма всех четырёх углов равна $360°$. Если проверка не сходится, значит, где-то была допущена ошибка в определении дуги или в паре противоположных углов.

И последнее: ответ в этих задачах всегда указывается в градусах без обозначения — внимательно читайте требование к формату ответа, чтобы не потерять балл на пустяковой невнимательности.