ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задача 27906. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.6 Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

В подтеме 30 задач
Разбор
Главная идея: В правильном шестиугольнике центральный угол составляет 60°, поэтому треугольник, образованный двумя радиусами и стороной шестиугольника, равносторонний — сторона равна радиусу.

Для решения найдём связь между радиусом описанной окружности и стороной правильного шестиугольника.

Шаг 1: Найдём центральный угол. Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон. Центр окружности делит её на 6 равных секторов. Центральный угол, соответствующий одной стороне: ∠AOB=360°6=60°\angle AOB = \frac{360°}{6} = 60°

Шаг 2: Определим тип треугольника AOB. Здесь O — центр окружности, A и B — соседние вершины шестиугольника.

  • OA=OB=R=6OA = OB = R = 6 (радиусы окружности)
  • ∠AOB=60°\angle AOB = 60°

Треугольник с двумя равными сторонами и углом 60° между ними — это равносторонний треугольник (в равнобедренном треугольнике с углом 60° между боковыми сторонами углы при основании тоже равны 60°).

Шаг 3: Найдём сторону шестиугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны: AB=OA=OB=6AB = OA = OB = 6

Сторона вписанного правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Типичные ошибки

  • Забыть разделить 360° на количество сторон и использовать неправильный центральный угол
  • Спутать вписанный и описанный шестиугольник — применить формулу для описанного вместо вписанного
  • Не заметить, что треугольник равносторонний, и попытаться применить теорему косинусов без упрощений

Ещё задачи этой подтемы