Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности

Воспользуемся свойством вписанного угла: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Шаг 1. Угол $\angle ABD$ опирается на дугу $AD$. По определению вписанного угла: $$\angle ABD = \frac{1}{2}\cup AD$$

Отсюда дуга $\cup AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 75° = 150°$

Шаг 2. Угол $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$. Аналогично: $$\angle CAD = \frac{1}{2}\cup CD$$

Отсюда дуга $\cup CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 35° = 70°$

Шаг 3. Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $ADC$ (дугу от точки $A$ к точке $C$ через точку $D$). Эта дуга состоит из двух частей: $$\cup ADC = \cup AD + \cup CD = 150° + 70° = 220°$$

Шаг 4. По свойству вписанного угла: $$\angle ABC = \frac{1}{2}\cup ADC = \frac{1}{2} \cdot 220° = 110°$$