Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности

Шаг 1: Вспомним свойство вписанного угла

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Это значит: $\angle = \frac{1}{2} \cup$, где $\cup$ — дуга.

Шаг 2: Выразим дуги через известные углы

Угол $ABC$ вписан в окружность и опирается на дугу $ADC$ (дугу от $A$ к $C$, проходящую через $D$). Поэтому: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC$$ $$110° = \frac{1}{2} \cup ADC$$ $$\cup ADC = 220°$$

Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$: $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD$$ $$70° = \frac{1}{2} \cup AD$$ $$\cup AD = 140°$$

Шаг 3: Найдём дугу $CD$

Дуга $ADC$ состоит из двух частей — дуги $AD$ и дуги $DC$: $$\cup ADC = \cup AD + \cup CD$$ $$220° = 140° + \cup CD$$ $$\cup CD = 80°$$

Шаг 4: Вычислим искомый угол

Угол $CAD$ вписан в окружность и опирается на дугу $CD$: $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°$$