ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задача 27873. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.4 Окружность и круг5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 30 задач
Разбор
Главная идея: Сумма дуг окружности равна 360°, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и угол четырёхугольника опирается на дугу, противолежащую его вершине.

Обозначим дуги через коэффициент пропорциональности. Пусть дуга AB = 4x, дуга BC = 2x, дуга CD = 3x, дуга DA = 6x (порядок букв соответствует расположению точек на окружности).

Шаг 1: Найдём x. Все четыре дуги составляют полную окружность, поэтому их сумма равна 360°: 4x+2x+3x+6x=360°4x + 2x + 3x + 6x = 360° 15x=360°15x = 360° x=24°x = 24°

Шаг 2: Вычислим величины дуг.

  • Дуга AB = 4 · 24° = 96°
  • Дуга BC = 2 · 24° = 48°
  • Дуга CD = 3 · 24° = 72°
  • Дуга DA = 6 · 24° = 144°

Шаг 3: Найдём угол A четырёхугольника ABCD. Угол A (вершина в точке A) — это вписанный угол, который опирается на дугу BCD (дугу от B к D, не содержащую A). Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠A=12(∪BC+∪CD)=12(48°+72°)=120°2=60°\angle A = \frac{1}{2}(\cup BC + \cup CD) = \frac{1}{2}(48° + 72°) = \frac{120°}{2} = 60°

Типичные ошибки

  • Забывают, что угол опирается на дугу, противолежащую вершине (дугу BCD, а не дугу BAD).
  • Неправильно составляют пропорцию или делают ошибку в вычислении суммы дуг.
  • Применяют теорему о вписанном угле неверно, используя полную дугу вместо нужной части.

Ещё задачи этой подтемы