Задача 27868. Описанные окружности

Обозначим три дуги окружности, на которые её делят точки A, B и C. По условию их градусные меры относятся как 1 : 3 : 5.

Шаг 1. Найдём величину каждой дуги.

Пусть одна часть равна $x$ градусов. Тогда дуги имеют меры $x$, $3x$ и $5x$. Поскольку все три дуги составляют полную окружность: $$x + 3x + 5x = 360°$$ $$9x = 360°$$ $$x = 40°$$

Значит, дуги равны $40°$, $120°$ и $200°$ соответственно.

Шаг 2. Определим, какой угол самый большой.

Каждый угол треугольника вписан в окружность. По теореме о вписанном угле он равен половине дуги, на которую опирается.

Угол треугольника опирается на ту дугу окружности, которая не содержит вершину этого угла. Значит, чтобы найти больший угол треугольника, нужно найти угол, опирающийся на большую дугу.

Шаг 3. Найдём больший угол.

Большая дуга имеет градусную меру $200°$. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу: $$\text{Угол} = \frac{200°}{2} = 100°$$

Ответ: 100°