ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задача 27896. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

В подтеме 30 задач
Разбор
Главная идея: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной окружности, поэтому радиус — это половина гипотенузы.

Шаг 1. Вспомним ключевое свойство описанной окружности прямоугольного треугольника: прямой угол всегда опирается на диаметр окружности.

Это следует из теоремы об вписанном угле: если вписанный угол опирается на полуокружность (диаметр), то он равен 90°.

Шаг 2. В нашем треугольнике есть прямой угол (так как треугольник прямоугольный). Значит, гипотенуза — это сторона, на которую опирается этот прямой угол.

Следовательно, гипотенуза является диаметром описанной окружности.

Шаг 3. По условию гипотенуза равна 12, значит диаметр D=12D = 12.

Шаг 4. Радиус окружности связан с диаметром формулой: R=D2=122=6R = \frac{D}{2} = \frac{12}{2} = 6

Типичные ошибки

  • Путают гипотенузу с радиусом и дают ответ 12 вместо 6
  • Забывают, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на гипотенузе (в её середине)
  • Пытаются использовать формулу для равностороннего треугольника или другие частные случаи вместо общего свойства

Ещё задачи этой подтемы