Задача 27923. Описанные окружности

Решим задачу несколькими способами.

Способ 1 (через формулу радиуса)

Обозначим стороны: $AB = BC = 40$ (боковые), $AC = 48$ (основание).

Найдём полупериметр: $p = \frac{40 + 40 + 48}{2} = 64$

По формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{64 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 16}$$

Вычислим подкоренное выражение: $$64 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 16 = 64 \cdot 16 \cdot 24^2 = 1024 \cdot 576 = 589824 = (768)^2$$

Поэтому $S = 768$

Радиус описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$: $$R = \frac{40 \cdot 40 \cdot 48}{4 \cdot 768} = \frac{76800}{3072} = 25$$

Способ 2 (через теорему синусов)

Проведём высоту $CH$ к основанию. Она делит основание пополам: $AH = 24$.

Из прямоугольного треугольника $ACH$: $$CH = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1600 - 576} = \sqrt{1024} = 32$$

Тогда $\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

По теореме синусов для противолежащей стороны $BC = 40$: $$\frac{BC}{\sin A} = 2R$$ $$R = \frac{40}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{40 \cdot 5}{8} = 25$$