ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задача 27898. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

В подтеме 30 задач
Разбор
Главная идея: Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, так как гипотенуза служит диаметром этой окружности.

Задача про описанную окружность прямоугольного треугольника. Ключевой факт: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на гипотенузе, причём гипотенуза является диаметром этой окружности.

Шаг 1. Найдём гипотенузу AB.

Угол C равен 90°, поэтому AB — гипотенуза. По теореме Пифагора: AB=AC2+BC2=42+32=16+9=25=5AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Шаг 2. Найдём радиус описанной окружности.

Поскольку гипотенуза — это диаметр описанной окружности, то радиус равен половине гипотенузы: R=AB2=52=2,5R = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2,5

Ответ: 2,5

Типичные ошибки

  • Забывают, что в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит именно на гипотенузе, и ошибочно используют формулу R=abc4SR = \frac{abc}{4S} вместо простого R=c2R = \frac{c}{2}
  • Находят гипотенузу неверно: складывают вместо использования теоремы Пифагора (например, AB=4+3=7AB = 4 + 3 = 7 вместо AB=5AB = 5)
  • Находят гипотенузу правильно, но потом ошибаются при делении: пишут R=5⋅2=10R = 5 \cdot 2 = 10 вместо R=52R = \frac{5}{2}

Ещё задачи этой подтемы