Задача 27927. Описанные окружности

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, есть важное свойство: сумма противоположных углов всегда равна 180°.

Шаг 1. Обозначим четыре угла четырехугольника. Известны два из них: 82° и 58°.

Шаг 2. Нужно понять, как расположены эти углы. Они могут быть либо противоположными, либо соседними. Проверим: если они противоположны, то 82° + 58° = 140° ≠ 180°, значит, они соседние.

Шаг 3. Обозначим углы по кругу: α₁ = 82°, α₂ = 58°, α₃ и α₄ — искомые углы.

Так как α₁ и α₃ противоположны: $\alpha_1 + \alpha_3 = 180°$, откуда $\alpha_3 = 180° - 82° = 98°$.

Так как α₂ и α₄ противоположны: $\alpha_2 + \alpha_4 = 180°$, откуда $\alpha_4 = 180° - 58° = 122°$.

Шаг 4. Два оставшихся угла равны 98° и 122°. Больший из них — 122°.