Задача 27930. Описанные окружности

Способ 1. Через сумму углов многоугольника

Внутренний угол правильного n-угольника равен 108°.

Сумма всех внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле: $180°(n-2)$

Так как многоугольник правильный, все углы одинаковые, поэтому сумма углов также равна $108° \cdot n$.

Приравняем оба выражения: $$180°(n-2) = 108° \cdot n$$

Раскроем скобки: $$180°n - 360° = 108°n$$

Перенесём $108°n$ влево: $$72°n = 360°$$

Разделим обе части на 72°: $$n = 5$$

Способ 2. Через центральный угол

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AOB$, где $A$ и $B$ — соседние вершины многоугольника, $O$ — центр окружности. Боковые стороны $OA = OB$ — радиусы окружности.

Внутренний угол многоугольника равен 108°, это угол $\angle OAB = \angle OBA = 54°$ (каждый из углов при основании).

Найдём центральный угол $\angle AOB$: $$\angle AOB = 180° - 54° - 54° = 72°$$

Округ полностью охватывает 360°, поэтому число вершин: $$n = \frac{360°}{72°} = 5$$