ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Теорема синусов5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

Сторона AB треугольника ABC c тупым углом C равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 30 задач
Разбор
Главная идея: Теорема синусов связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности; найдя синус угла, нужно выбрать из двух возможных значений то, которое соответствует тупому углу.

Применим теорему синусов для треугольника ABC. Она гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R

По условию AB=RAB = R, подставим это значение:

Rsin⁡C=2R\frac{R}{\sin C} = 2R

Разделим обе части на RR (радиус не равен нулю):

1sin⁡C=2\frac{1}{\sin C} = 2

Отсюда:

sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2}

В диапазоне от 0° до 180° уравнение sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} имеет два решения: C=30°C = 30° или C=150°C = 150°.

По условию задачи угол C тупой, то есть C>90°C > 90°. Из двух решений только C=150°C = 150° удовлетворяет этому ограничению.

Типичные ошибки

  • Забыли, что угол тупой, и выбрали ответ 30° вместо 150°
  • Неправильно применили теорему синусов, поставив AB в знаменатель вместо числителя
  • Не учли, что для тупого угла из двух углов с одинаковым синусом нужно выбрать больший
Непонятно?

Похожие задачи