ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задача 27921. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В подтеме 30 задач
Разбор
Главная идея: Теорема синусов позволяет напрямую найти радиус описанной окружности, если известны сторона и противолежащий ей угол треугольника.

Для нахождения радиуса описанной окружности применим теорему синусов. Она связывает сторону треугольника с противолежащим углом и радиусом описанной окружности.

Теорема синусов гласит: R=a2sin⁡AR = \frac{a}{2\sin A}

где aa — сторона треугольника, AA — противолежащий ей угол, RR — радиус описанной окружности.

Подставим известные значения:

  • сторона AB=1AB = 1
  • противолежащий угол ∠C=150°\angle C = 150°

R=AB2sin⁡C=12sin⁡150°R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{1}{2\sin 150°}

Найдём sin⁡150°\sin 150°. Угол 150° находится во второй четверти, где синус положителен: sin⁡150°=sin⁡(180°−30°)=sin⁡30°=12\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}

Подставим значение синуса: R=12⋅12=11=1R = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1

Радиус описанной окружности равен 1.

Типичные ошибки

  • Забыть, что sin⁡150°=12\sin 150° = \frac{1}{2}, а не −12-\frac{1}{2} (синус в любом случае положителен)
  • Применить теорему синусов неправильно, например R=ABsin⁡CR = \frac{AB}{\sin C} без множителя 2
  • Не распознать, что угол 150° дополняет 30°, и попытаться вычислить синус через таблицу или неправильно

Ещё задачи этой подтемы