ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задача 541815. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

В треугольнике ABC сторона AB равна 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , угол С равен 120°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

В подтеме 30 задач
Разбор
Главная идея: Теорема синусов напрямую связывает сторону треугольника с противолежащим ей углом и радиусом описанной окружности через формулу asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R.

Применим теорему синусов для треугольника ABC. Она связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности.

Теорема синусов гласит: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

где a,b,ca, b, c — стороны треугольника, A,B,CA, B, C — противолежащие им углы, а RR — радиус описанной окружности.

В нашей задаче сторона ABAB противолежит углу CC, поэтому: ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R

Отсюда выражаем радиус: R=AB2sin⁡CR = \frac{AB}{2\sin C}

Подставляем известные значения: AB=23AB = 2\sqrt{3} и C=120°C = 120°.

R=232sin⁡120°R = \frac{2\sqrt{3}}{2\sin 120°}

Найдём sin⁡120°\sin 120°. Так как 120°=180°−60°120° = 180° - 60°, то: sin⁡120°=sin⁡60°=32\sin 120° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

Подставляем: R=232⋅32=233=2R = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2

Типичные ошибки

  • Забывают, что формула теоремы синусов содержит множитель 2 перед радиусом, и считают R=ABsin⁡CR = \frac{AB}{\sin C}
  • Ошибаются при вычислении sin⁡120°\sin 120°, путая его с sin⁡60°\sin 60° или забывая про положительное значение синуса в диапазоне 90–180°
  • Неправильно определяют, какая сторона противолежит углу C, и подставляют не ту сторону в формулу

Ещё задачи этой подтемы