ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Описанные окружности

Задача 541371. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

В треугольнике ABC сторона AB равна 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , угол С равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Показать ответ
3ответ для бланка

Разбор

Главная идея: Применить теорему синусов ABsin⁡C=2R\dfrac{AB}{\sin C}=2R, где sin⁡135∘=sin⁡45∘=22\sin135^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}.

По теореме синусов в треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла: ABsin⁡C=2R.\frac{AB}{\sin C}=2R.

Значит, R=AB2sin⁡C=322sin⁡135∘.R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sin 135^\circ}.

Так как sin⁡135∘=sin⁡(180∘−135∘)=sin⁡45∘=22\sin 135^\circ=\sin(180^\circ-135^\circ)=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, получаем R=322⋅22=322=3.R=\frac{3\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3.

Типичные ошибки

  • Считают sin⁡135∘\sin135^\circ отрицательным или равным −22-\frac{\sqrt2}{2}.
  • Путают формулу: берут R=ABsin⁡CR=\frac{AB}{\sin C} (забывают делить на 2) или наоборот умножают на 2.
  • Берут синус не того угла — не противолежащего стороне AB.

Ещё задачи этой подтемы