Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности

Обозначим правильный треугольник как ABC со стороной $a$. В правильном треугольнике все углы равны $60°$.

Шаг 1. Найдём сторону треугольника через высоту.

Высота правильного треугольника выражается формулой: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

По условию $h = 3$, поэтому: $$3 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Шаг 2. Применим теорему синусов.

Для любого треугольника радиус описанной окружности равен: $$R = \frac{a}{2\sin A}$$

где $a$ — сторона, противолежащая углу $A$.

В нашем случае все стороны равны $2\sqrt{3}$, все углы равны $60°$: $$R = \frac{2\sqrt{3}}{2\sin 60°}$$

Шаг 3. Вычислим.

Знаем, что $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$R = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$