Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности

Обозначим правильный треугольник как ABC с описанной окружностью радиуса R = 3.

Шаг 1: Найдём сторону треугольника.

Для правильного треугольника существует связь между стороной a и радиусом описанной окружности: $$a = R\sqrt{3}$$

Подставляем R = 3: $$a = 3\sqrt{3}$$

Шаг 2: Найдём высоту через формулу.

Высота правильного треугольника со стороной a равна: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем a = 3√3: $$h = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$$

Альтернативный способ (через синусы):

Высота CH, опущенная на сторону AB, находится из треугольника ACH: $$CH = AC \sin A$$

Сторона AC связана с радиусом через расширенную теорему синусов: $$AC = 2R\sin B = 2 \cdot 3 \cdot \sin 60° = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Тогда: $$h = 3\sqrt{3} \cdot \sin 60° = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$$