Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности

Обозначим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 1 — боковые стороны, а угол при вершине B (угол ABC) равен 120°.

Шаг 1. Найдём углы при основании.

Сумма углов треугольника равна 180°. Два угла при основании равны между собой (свойство равнобедренного треугольника):

$$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180°$$ $$2\angle BAC + 120° = 180°$$ $$\angle BAC = 30°$$

Шаг 2. Применим теорему синусов.

Диаметр описанной окружности равен отношению стороны к синусу противолежащего ей угла:

$$d = \frac{a}{\sin A}$$

Здесь сторона BC = 1 противолежит углу BAC = 30°:

$$d = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$

Диаметр описанной окружности равен 2.