Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности

Обозначим трапецию $ABCD$, где $AB = 8$ — большее основание, $DC = 6$ — меньшее основание, $O$ — центр описанной окружности, $R = 5$ — радиус.

Проведём высоту трапеции $KH$ через центр $O$, перпендикулярно основаниям. Она пересекает $AB$ в точке $H$ и $DC$ в точке $K$.

Поскольку трапеция равнобедренная, центр окружности лежит на оси симметрии, то есть на этой высоте. Высота трапеции складывается из двух отрезков: $KH = KO + OH$, где $KO$ — расстояние от $O$ до верхнего основания $DC$, а $OH$ — расстояние от $O$ до нижнего основания $AB$.

Найдём $KO$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $DOC$ с основанием $DC = 6$. Точка $K$ — середина $DC$ (по симметрии), поэтому $DK = KC = 3$. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $OKC$: $$KO = \sqrt{OC^2 - KC^2} = \sqrt{R^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

Найдём $OH$. Аналогично для равнобедренного треугольника $AOB$ с основанием $AB = 8$. Точка $H$ — середина $AB$, поэтому $AH = HB = 4$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OHB$: $$OH = \sqrt{OB^2 - HB^2} = \sqrt{R^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$$

Вычислим высоту: $$KH = KO + OH = 4 + 3 = 7$$