Задача 27920. Описанные окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Теорема синусов5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника

Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.

В подтеме 30 задач

Разбор

Главная идея: Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов и радиусом описанной окружности через формулу

AB = 2R\sin C

Для треугольника, вписанного в окружность, существует фундаментальное соотношение между стороной, противолежащим ей углом и радиусом окружности.

Применим теорему синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

Отсюда выражаем сторону AB:

$AB = 2R \sin C$

Подставляем известные значения: $R = 3$ и $C = 30°$ .

Знаем, что $\sin 30° = \frac{1}{2}$ :

$AB = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Ответ получается без промежуточных округлений — всё сокращается neatly.

Путаница между синусом угла и его косинусом — надо именно синус противолежащего угла.
Забывают множитель 2: формула — это именно $2R$ , а не просто $R$ .
Ошибка в значении синуса: $\sin 30° = \frac{1}{2}$ , а не $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (это синус 60°).

Ещё задачи этой подтемы