Треугольники общего вида в задании 1 ЕГЭ: теория и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике посвящено планиметрии, и один из самых частых сюжетов в нём — треугольник общего вида, то есть треугольник без специальных свойств (не обязательно равнобедренный, прямоугольный или равносторонний). В таких задачах чаще всего фигурируют элементы треугольника: высоты, биссектрисы, медианы, средние линии — и требуется найти угол, длину стороны или площадь.

Особенность подтемы в том, что готовой «формулы для подстановки» здесь обычно нет. Нужно грамотно использовать базовые факты планиметрии: сумму углов треугольника, свойства подобных треугольников, признаки равенства, свойства биссектрисы и высоты. Задача проверяет не столько знание сложных теорем, сколько умение аккуратно построить логическую цепочку рассуждений и не потерять важную деталь чертежа — например, то, что при тупом угле высота может падать не на саму сторону, а на её продолжение.

Эта подтема — базовая для всей планиметрии ЕГЭ: то, что здесь отрабатывается (подобие, свойства элементов треугольника, работа с углами), пригодится и в задании 16 (стереометрия/планиметрия повышенной сложности), поэтому разобраться в ней стоит основательно.

Что нужно знать

Для решения задач на треугольники общего вида достаточно владеть небольшим, но универсальным набором фактов.

1. Сумма углов треугольника. $$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$ Это самый частый инструмент для нахождения неизвестного угла, если известны два других.

2. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: $$DE\parallel AB,\qquad DE=\frac12 AB.$$

3. Подобие треугольников. Если у двух треугольников равны соответствующие углы (например, за счёт параллельности прямых или общего угла), треугольники подобны. Коэффициент подобия $k$ — это отношение соответствующих сторон. Важно помнить, как коэффициент подобия влияет на другие величины:

• отношение сторон и периметров равно $k$;
• отношение площадей равно $k^2$: $$\frac{S_1}{S_2}=k^2.$$

4. Биссектриса угла. Биссектриса делит угол пополам. Если $AD$ — биссектриса угла $A$, то $$\angle BAD=\angle DAC=\frac12\angle BAC.$$

5. Высота треугольника. Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Ключевой момент: если угол при одной из вершин острый, основание высоты, опущенной из другой вершины, лежит внутри стороны. Но если угол при вершине тупой, основание высоты, проведённой к прилежащей стороне, может оказаться на продолжении этой стороны, а не на самом отрезке. Это критично для правильного построения чертежа.

6. Вертикальные и смежные углы. При пересечении прямых образуются вертикальные (равные) и смежные (в сумме дающие $180^\circ$) углы. Это часто помогает «перекинуть» известный угол в нужную часть чертежа.

7. Свойства прямоугольного треугольника. Если в задаче встречается прямоугольный треугольник (например, образованный высотой), сумма острых углов равна $90^\circ$: $$\angle 1+\angle 2=90^\circ.$$

Этого набора фактов достаточно для подавляющего большинства задач на треугольники общего вида в задании 1.

Как решать: метод и алгоритм

Поскольку типового шаблона решения нет, важно выработать общий порядок действий, который подходит для большинства задач такого типа.

Шаг 1. Внимательно прочитать условие и построить (или уточнить) чертёж. Отметить все данные величины: углы, отрезки, названные точки (высота, биссектриса, средняя линия и т. д.). Если чертёж дан, не полагаться слепо на пропорции рисунка — они могут быть неточными, особенно для тупых углов.

Шаг 2. Определить, какие специальные элементы участвуют. Есть ли средняя линия? Биссектриса? Высота? От этого зависит, какой факт применять: подобие (для средней линии), деление угла пополам (для биссектрисы), перпендикулярность (для высоты).

Шаг 3. Проверить характер углов треугольника. Если по условию можно вычислить угол больше $90^\circ$, обязательно учесть, что связанные с этой вершиной высоты будут опускаться на продолжения сторон. Это самый частый источник ошибок в задачах с высотой и биссектрисой одновременно.

Шаг 4. Найти вспомогательные равные или подобные треугольники. Если в задаче нужна площадь — искать подобные треугольники и коэффициент подобия. Если нужен угол — искать треугольник, где уже известны два угла (тогда третий находится через сумму углов), либо использовать вертикальные/смежные углы, чтобы «перенести» известную величину в нужную точку.

Шаг 5. Выполнить вычисления и проверить правдоподобность ответа. Угол должен быть в диапазоне $0^\circ$–$180^\circ$, площадь — положительным числом, меньшим площади исходного треугольника (если это часть фигуры).

Этот алгоритм не заменяет понимание конкретной геометрической ситуации, но помогает не потерять важные шаги и системно двигаться от данных к искомой величине.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: площадь треугольника $ABC$ равна $4$, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.

Шаг 1. По определению средней линии, $DE$ параллельна $AB$, а точки $D$ и $E$ — середины сторон $CA$ и $CB$ соответственно.

Шаг 2. Рассмотрим треугольники $CDE$ и $CAB$. У них общий угол при вершине $C$, а так как $DE\parallel AB$, соответственные углы при пересечении секущими $CA$ и $CB$ равны. Значит, треугольники подобны по двум углам: $$\triangle CDE \sim \triangle CAB.$$ Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон: $$k=\frac{CD}{CA}=\frac12,$$ поскольку $D$ — середина $CA$.

Шаг 3. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{CDE}}{S_{CAB}}=k^2=\frac14.$$ Отсюда $$S_{CDE}=\frac14\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot 4=1.$$

Ответ: $1$.

Этот пример показывает типичный ход рассуждений для задач со средней линией: сначала — параллельность и подобие, потом — переход от отношения сторон к отношению площадей через квадрат коэффициента.

Пример 2.

Условие: в треугольнике $ABC$ $CH$ — высота, $AD$ — биссектриса, $O$ — точка пересечения прямых $CH$ и $AD$, угол $BAD$ равен $66^\circ$. Найдите угол $AOC$.

Шаг 1. Находим угол при вершине $A$. По условию $AD$ — биссектриса угла $BAC$, значит $$\angle BAC=2\angle BAD=2\cdot66^\circ=132^\circ.$$ Угол $A$ оказался тупым — это ключевой момент задачи.

Шаг 2. Понимаем, где лежит основание высоты $H$. Высота $CH$ перпендикулярна прямой $AB$. Так как угол $A$ тупой, основание высоты $H$ не может лежать на самом отрезке $AB$ — оно лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Из-за этого точки пересечения прямых $CH$ и $AD$ (точка $O$) тоже оказывается не внутри треугольника, а на продолжении биссектрисы $AD$ за точку $A$, причём точка $H$ лежит между $O$ и $C$.

Этот шаг — самый важный в решении: если не заметить тупой угол и рисовать высоту «как обычно», внутри треугольника, весь дальнейший расчёт будет неверным.

Шаг 3. Находим угол $HAO$. Луч $AH$ является продолжением луча $AB$ (так как $H$ лежит за точкой $A$), а луч $AO$ — продолжением луча $AD$. Два угла, образованных парой пересекающихся прямых (продолжения $AB$ и $AD$), являются вертикальными по отношению к углу $BAD$. Значит, $$\angle HAO=\angle BAD=66^\circ.$$

Шаг 4. Работаем с прямоугольным треугольником $AHO$. По построению $CH\perp AB$, а прямая $AB$ и луч $AH$ — это одна и та же прямая, поэтому угол $AHO$ прямой: $$\angle AHO=90^\circ.$$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $$\angle AOH=90^\circ-\angle HAO=90^\circ-66^\circ=24^\circ.$$

Шаг 5. Переходим к искомому углу. Точки $O$, $H$, $C$ лежат на одной прямой (это высота $CH$, продолженная до точки $O$), причём $H$ находится между $O$ и $C$. Значит, луч $OH$ и луч $OC$ совпадают, и $$\angle AOC=\angle AOH=24^\circ.$$

Ответ: $24^\circ$.

Этот пример иллюстрирует главную сложность подтемы: правильно определить взаимное расположение точек на чертеже с учётом того, что один из углов тупой, и только после этого применять стандартные факты о вертикальных углах и сумме углов прямоугольного треугольника.

Типичные ошибки

Неверное построение чертежа при тупом угле. Самая частая ошибка — рисовать высоту так, будто её основание всегда лежит внутри стороны треугольника. Если угол при соседней вершине тупой, основание высоты уходит на продолжение стороны, и все дальнейшие рассуждения о положении точек пересечения меняются.

Путаница в коэффициенте подобия для площадей. Часто забывают, что отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, а не самому коэффициенту. Например, при $k=\frac12$ площадь уменьшается не в 2, а в 4 раза.

Неправильное определение соответственных элементов в подобных треугольниках. Важно чётко сопоставлять, какая сторона одного треугольника соответствует какой стороне другого — ошибка в этом сразу даёт неверный коэффициент подобия.

Смешение биссектрисы угла треугольника с биссектрисой смежного угла. Нужно чётко видеть, какой именно угол делится пополам — угол треугольника или угол, образованный продолжением стороны.

Неверное определение вертикальных и смежных углов. Иногда путают, какие углы являются вертикальными (равными), а какие — смежными (дающими в сумме $180^\circ$), особенно когда чертёж содержит продолжения сторон.

Потеря знака или диапазона угла. Если в вычислениях получается угол больше $180^\circ$ или отрицательный, это сигнал, что где-то на чертеже была допущена ошибка в расположении точек.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задач на треугольники общего вида в задании 1 стоит в первую очередь проверить, не является ли один из углов треугольника тупым — особенно если в условии участвуют одновременно высота и биссектриса или медиана. Тупой угол меняет расположение точек на чертеже и требует более внимательного анализа.

Полезно всегда выписывать текущие известные величины (углы, отношения сторон) прямо на черновике рядом с чертежом, чтобы не потерять промежуточные результаты. Если в задаче есть средняя линия, сразу фиксируйте коэффициент подобия $k=\frac12$ и не забывайте возводить его в квадрат, если ищете площадь.

При работе с углами старайтесь идти от известного факта (сумма углов треугольника, свойство биссектрисы, вертикальные углы) к искомой величине шаг за шагом, не пытаясь угадать ответ по чертежу — рисунок в задании часто не соответствует истинным пропорциям, особенно если фигура содержит тупой угол.

Наконец, после получения ответа полезно устно проверить его правдоподобность: угол должен лежать в разумных пределах, площадь части фигуры не может превышать площадь целого треугольника. Такая самопроверка позволяет отловить большинство арифметических и логических ошибок ещё до сдачи работы.