ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Треугольники общего вида

Задача 319058. Треугольники общего вида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.1 Треугольник5.1.3 Трапеция

Площадь треугольника ABC равна 10, DE   — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Средняя линия отсекает подобный треугольник с коэффициентом 1/2, его площадь в 4 раза меньше, поэтому трапеция составляет 3/4 площади треугольника.

1. Что отсекает средняя линия. Средняя линия DE∥ABDE\parallel AB соединяет середины сторон CACA и CBCB, значит треугольник CDECDE подобен треугольнику CABCAB с коэффициентом k=CDCA=12k=\dfrac{CD}{CA}=\dfrac12 (по двум пропорциональным сторонам и общему углу CC).

2. Отношение площадей. У подобных фигур площади относятся как квадрат коэффициента подобия: SCDE=k2⋅SABC=14⋅10=2,5.S_{CDE}=k^2\cdot S_{ABC}=\frac14\cdot 10=2{,}5.

3. Площадь трапеции. Трапеция ABEDABED — это то, что осталось от треугольника: SABED=SABC−SCDE=10−2,5=7,5.S_{ABED}=S_{ABC}-S_{CDE}=10-2{,}5=7{,}5.

Типичные ошибки

  • Считают, что площади относятся как 1:2 (по коэффициенту подобия), и получают 5.
  • Берут площадь отсечённого треугольника вместо трапеции (2,5 вместо 7,5).
  • Путают, какая часть является трапецией, и вычитают неверно.

Ещё задачи этой подтемы