Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

Обозначим стороны треугольника: первая сторона $a = 9$, вторая сторона $b = 6$. Высота к первой стороне $h_a = 4$, высота ко второй стороне $h_b$ — искомая величина.

Ключевой принцип: площадь треугольника можно вычислить через любую пару «сторона–высота к этой стороне». Формула одна и та же: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота}$.

Шаг 1. Выразим площадь через первую сторону и её высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18$$

Шаг 2. Выразим ту же площадь через вторую сторону и её высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_b$$

Шаг 3. Площадь одна и та же, поэтому приравняем: $$\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_b$$

Сократим обе части на $\frac{1}{2}$: $$9 \cdot 4 = 6 \cdot h_b$$ $$36 = 6 \cdot h_b$$ $$h_b = 6$$

Проверка: $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18$ и $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ — совпадает.