Задача 510796. Треугольники общего вида

Рассмотрим точку O — пересечение продолжений высот BD и CE.

Высота BD перпендикулярна стороне AC, поэтому $BD \perp AC$. Высота CE перпендикулярна стороне AB, поэтому $CE \perp AB$.

Значит, прямая OD (которая лежит на BD) перпендикулярна AC, а прямая OE (которая лежит на CE) перпендикулярна AB.

Угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярами к ним. Поскольку OD $\perp$ AC и OE $\perp$ AB, угол DOE равен углу между этими перпендикулярами, что соответствует углу между самими сторонами AC и AB треугольника.

Однако нужно учесть ориентацию: высоты продолжены, и их продолжения пересекаются в точке O. Угол DOE и угол CAB — это дополнительные углы в смысле ориентации на плоскости.

Так как угол CAB = 135°, угол между перпендикулярами к сторонам этого угла равен: $$\angle DOE = 180° - \angle CAB = 180° - 135° = 45°$$