ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Треугольники общего вида

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.1 Треугольник5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

В треугольнике ABC угол A равен 135°. Продолжения высот BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярами к ним; поскольку продолжения высот перпендикулярны сторонам при вершине A, угол между ними дополняет угол A до 180°.

Рассмотрим точку O — пересечение продолжений высот BD и CE.

Высота BD перпендикулярна стороне AC, поэтому BD⊥ACBD \perp AC. Высота CE перпендикулярна стороне AB, поэтому CE⊥ABCE \perp AB.

Значит, прямая OD (которая лежит на BD) перпендикулярна AC, а прямая OE (которая лежит на CE) перпендикулярна AB.

Угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярами к ним. Поскольку OD ⊥\perp AC и OE ⊥\perp AB, угол DOE равен углу между этими перпендикулярами, что соответствует углу между самими сторонами AC и AB треугольника.

Однако нужно учесть ориентацию: высоты продолжены, и их продолжения пересекаются в точке O. Угол DOE и угол CAB — это дополнительные углы в смысле ориентации на плоскости.

Так как угол CAB = 135°, угол между перпендикулярами к сторонам этого угла равен: ∠DOE=180°−∠CAB=180°−135°=45°\angle DOE = 180° - \angle CAB = 180° - 135° = 45°

Типичные ошибки

  • Забывают, что это продолжения высот, а не сами высоты, и ищут угол в треугольнике BEC вместо угла при пересечении продолжений
  • Путают угол DOE с углом между самими сторонами AB и AC, забывая про дополнительный угол
  • Неправильно применяют свойство перпендикулярности: забывают, что высота BD перпендикулярна основанию AC, а не боковой стороне
Непонятно?

Похожие задачи