ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Треугольники общего вида

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.1 Треугольник5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Высоты треугольника и две его стороны образуют четырёхугольник с двумя прямыми углами; угол между высотами находится из условия суммы углов четырёхугольника.

Обозначим треугольник как ABCABC, где ∠A=58°\angle A = 58°, ∠B=72°\angle B = 72°. Тогда третий угол ∠C=180°−58°−72°=50°\angle C = 180° - 58° - 72° = 50°.

Пусть DD — точка пересечения высоты из вершины AA со стороной BCBC, а EE — точка пересечения высоты из вершины BB со стороной ACAC. Обозначим точку пересечения этих двух высот как OO.

Рассмотрим четырёхугольник DOECDOEC. Найдём его углы:

— ∠ADC=90°\angle ADC = 90° (так как ADAD — высота), поэтому ∠CDO=90°\angle CDO = 90°

— ∠BEC=90°\angle BEC = 90° (так как BEBE — высота), поэтому ∠CEO=90°\angle CEO = 90°

— ∠DCE=∠C=50°\angle DCE = \angle C = 50° (это угол треугольника в вершине CC)

Сумма углов в выпуклом четырёхугольнике равна 360°360°:

∠CDO+∠DOE+∠OEC+∠ECD=360°\angle CDO + \angle DOE + \angle OEC + \angle ECD = 360°

90°+∠DOE+90°+50°=360°90° + \angle DOE + 90° + 50° = 360°

∠DOE=360°−90°−90°−50°=130°\angle DOE = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°

Это тупой угол между высотами.

Типичные ошибки

  • Перепутать, какие углы в четырёхугольнике равны 90° — они образуются именно в точках пересечения высот со сторонами
  • Забыть найти третий угол треугольника перед применением формулы суммы углов четырёхугольника
  • Найти острый угол между высотами вместо тупого, не прочитав условие задачи внимательно
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)