Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$, $C$, где угол при $A$ равен $33°$, а угол при $B$ равен $105°$. Найдём третий угол: $\angle C = 180° - 33° - 105° = 42°$.

Проведём высоты из вершин $A$ и $B$. Пусть $H_A$ — основание высоты из $A$ на сторону $BC$, а $H_B$ — основание высоты из $B$ на сторону $AC$. Высоты пересекаются в ортоцентре или (если угол тупой) их продолжения пересекаются вне треугольника.

Рассмотрим четырёхугольник $AH_BOH_A$, где $O$ — точка пересечения высот (или их продолжений). В этом четырёхугольнике:

• $\angle AH_BO = 90°$ (так как $BH_B$ — высота)
• $\angle AH_AO = 90°$ (так как $AH_A$ — высота)

Сумма углов четырёхугольника равна $360°$, поэтому: $$\angle H_BOH_A + \angle BAC = 180°$$

Это следует из того, что углы при $H_B$ и $H_A$ прямые. Подставляем $\angle BAC = 33°$: $$\angle H_BOH_A = 180° - 33° = 147°$$

Однако нас просят найти угол между высотами из вершин углов $33°$ и $105°$. Применим другой подход: угол между высотами из двух вершин равен $180°$ минус третий угол треугольника (для острого угла между ними). Острый угол: $180° - 42° = 138°$ — это уже тупой угол. Проверим: если острый угол был бы $42°$, то смежный тупой угол равен $180° - 42° = 138°$.