Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

1. Угол при вершине $A$. Так как $AD$ — биссектриса, то $$\angle BAC = 2\angle BAD = 2\cdot 66^\circ = 132^\circ.$$ Значит, угол $A$ тупой.

2. Где лежит основание высоты. Если угол $A$ тупой, то основание высоты $CH$ ($CH\perp AB$) лежит не на самом отрезке $AB$, а на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Поэтому прямые $CH$ и $AD$ пересекаются не внутри треугольника: точка $O$ лежит на продолжении биссектрисы $AD$ за точку $A$ (и точка $H$ лежит между $O$ и $C$).

3. Находим угол $OAH$. Луч $AH$ — продолжение луча $AB$, луч $AO$ — продолжение луча $AD$. Значит, углы $HAO$ и $BAD$ — вертикальные: $$\angle HAO = \angle BAD = 66^\circ.$$

4. Прямоугольный треугольник $AHO$. В нём $\angle AHO = 90^\circ$ (так как $CH\perp AB$), поэтому $$\angle AOH = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ.$$

5. Ответ. Точки $O$, $H$, $C$ лежат на одной прямой, причём $H$ между $O$ и $C$, значит луч $OH$ совпадает с лучом $OC$, поэтому $$\angle AOC = \angle AOH = 24^\circ.$$